ビオ＝サヴァールの法則

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ビオ・サバールの法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/16 15:20 UTC 版)

ビオ・サバールの法則（ビオ・サバールのほうそく、英: Biot–Savart law）とは電流の存在によってその周りに生じる磁場を計算する為の電磁気学における法則である。この法則は静電場に対するクーロンの法則に対応する。

この法則によって磁場は距離、方向、およびその電流の大きさなどに依存することが論じられる。この法則は静的な近似の元ではアンペールの法則および磁場に対するガウスの法則と同等である。

1820年にフランスの物理学者ジャン＝バティスト・ビオとフェリックス・サヴァールによって発見された。

概要

微小な長さの電流要素 I dl によって r 離れた位置に作られる微小な磁場 dH は

$\mathrm {d} {\boldsymbol {H}}={\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{4\pi r^{3}}}$

この節の加筆が望まれています。 （2011年3月）

1820年4月、デンマークの物理学者ハンス・クリスティアン・エルステッドはコペンハーゲン大学での講義中、電気回路をいじっていた時近くにあった方位磁石が北ではない方角を指し示していることに気が付き、電流と磁場の関係について数か月の研究の末、電流の磁気作用を発表した。 これを受け、ジャン・バティスタ・ビオとフェリックス・サバールは共同で実験を行い、この法則を発表するに至った。さらにこの数ヵ月後にはフランソワ・アラゴーが電磁石の原理を、アンドレ・マリー・アンペールがアンペールの法則を発見している。これらの功績がエルステッドの発見から僅か一年以内のことであったのは驚くべきことである。

さらに3年後の1823年にスタージャンが実際に電磁石を作成し、24年にアラゴーは回転磁気を発見している。この1820年からの数年間は科学史上重要な期間である。

その他の形式

均一な電流

電流I が如何なる点においても一定の場合磁場H は、

${\boldsymbol {H}}={\frac {I}{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}$

この節の加筆が望まれています。 （2011年3月）

無限に長い直線電流の周りの磁場

ビオ・サバールの法則は積分することによりアンペールの法則の磁場と一致する。 例えば無限に長い直線電流であれば、図より、

$r={\frac {a}{\sin \theta }},\qquad s=-{\frac {a}{\tan \theta }}$

閉経路C1から回路C2を俯瞰する立体角をΩとする。

以下のようにしてもビオ・サバールの法則からアンペールの法則が成り立つことを示すことができる。

閉回路C₁上の点Pから回路C₂を俯瞰する立体角を Ω とする。ここで回路C₁上を点Pから微小距離 ds だけ移動した点をP′とすると、点P′から回路C₂を俯瞰する立体角Ω+dΩ は、−ds だけ平行移動された回路を俯瞰する立体角と等しい。

このとき、回路上の微小長さ ds′ と平行移動した微小距離 −ds によって作られる面の面素ベクトル dS は

$\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-\mathrm {d} {\boldsymbol {s}})=\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}$

中心に生じる磁場

アンペールの法則を使った場合では求めることが難しい場合も、ビオ・サバールの法則を用いることで簡易に計算できる場合がある。例えば円形電流の中心付近に発生する磁場を求める場合がそうである。まず、右図のような半径 a の円周上P点に存在する電流 I によって、中心Oに生じる磁場について考える。

ds と r の為す角度を φ とおくと、図より

$\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\perp {\boldsymbol {r}}$

中心よりzだけずれた位置に生じる磁場

次に、右図のようなOより面に垂直に z だけずれた位置Qに生じる磁場について考える。図より、

$|{\boldsymbol {r}}|={\sqrt {a^{2}+z^{2}}},\quad \angle \mathrm {OPQ} =\alpha$

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発散

ビオ・サバールの法則の両辺の発散を取る。

$\operatorname {div} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {div} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'$

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静磁場で、ベクトルポテンシャルが

${\boldsymbol {B}}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}$ この項目は、物理学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:物理学／Portal:物理学）。