テンソル微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 04:22 UTC 版)
∇をベクトル場に施して、結果がテンソルとなることもある。ベクトル場 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} のテンソル微分は9つの成分を持つ二階テンソルだが、これを二項積 ⊗ を用いて、簡単に ∇ ⊗ v {\displaystyle \nabla \otimes {\boldsymbol {v}}} と書くことができる。この量は空間に対するベクトル場のヤコビ行列の転置に等しい。 微小変位 δ r {\displaystyle \delta {\boldsymbol {r}}} に対して、ベクトル場の変位は δ v = ( ∇ ⊗ v ) ⋅ δ r {\displaystyle \delta {\boldsymbol {v}}=(\nabla \otimes {\boldsymbol {v}})\cdot \delta {\boldsymbol {r}}} で与えられる。
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テンソル微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 14:37 UTC 版)
「一般相対性理論の数学」の記事における「テンソル微分」の解説
一般相対性理論の登場以前から、物理的過程における変化は偏微分によって記述されていた、例えば、電磁場の変化を記述する場合などである（マックスウェル方程式も参照）。特殊相対性理論でさえも、偏微分はそこでの変化を記述する分にはまだ充分である。しかしながら一般相対性理論では、微分自体もテンソルであるような微分を用いなくてはならないことが見つけられた。テンソル微分は、ベクトル場の積分曲線 (integral curve) に沿った微分であるということも含んでいるいくつかの共通の特徴を持つ。 平坦でない多様体上の微分を定義するときに問題となるのは、異なる点上のベクトルを比較する自然な方法がないことである。そのため微分を定義するためには、一般の多様体上に追加の構造が要求される。以下では、2つの重要な微分が、それぞれ多様体上にある構造を追加することにより定義されることを述べる。
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