スリット写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/06 21:56 UTC 版)
D 上の正定置の実部をもち正規化されていて、p(0) = 1 である正則函数 p(z) は、ヘルグロッツの表現定理（英語版）(Herglotz representation theorem)により、次のように記述される。 p ( z ) = ∫ 0 2 π 1 + e − i θ z 1 − e − i θ z d μ ( θ ) . {\displaystyle \displaystyle {p(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}} ここに μ は円の確率測度である。点の測度を取ることは、|κ(t)| = 1 である函数 p t ( z ) = 1 + κ ( t ) z 1 − κ ( t ) z {\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}} を一つ選びだすこととなる。最初にこのことは、Loewner (1923)により考案された。 単位円板上の単葉函数の不等式は、スリット写像(slit mappings)のコンパクト部分集合へ一様に収束する密度を使い証明することができます。これらは、省略された無限遠点へ繋がっている有限個のジョルダン曲線の弧への単位円板からの共形写像である。密度はカラテオドリの核定理（英語版）(Carathéodory kernel theorem)を使い示すことができる。実際、任意の単葉函数 f(z) は、 g ( z ) = f ( r z ) / r {\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(rz)/r}} により、近似することができ、単位円を解析曲線へ写像する。曲線上の点は、ジョルダン曲線の弧により無限遠点へつなぐことができる。解析曲線の小さな部分を選択した点の一方へ押しやることにより得られる領域は、g(D) へ収束するので、これらの領域上への D からの対応する単葉写像は、コンパクトな集合上で g へ一様収束する。 スリット写像 f へレヴナー微分方程式を適用すると、有限個の点から ∞ 押しやられたジョルダン曲線の弧 c(t) は、[0,∞) によってパラメトライズすることができるので、小さな c([t,∞)) での D から C 上への単葉写像 ft は、連続な bn を持つ f t ( z ) = e t ( z + b 2 ( t ) z 2 + b 3 ( t ) z 3 + ⋯ ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=e^{t}(z+b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}} の形をしている。特に、 f 0 ( z ) = f ( z ) {\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=f(z)}} である。 s ≤ t に対して、連続な an を持つ φ s , t ( z ) = f t − 1 ∘ f s ( z ) = e s − t ( z + a 2 ( s , t ) z 2 + a 3 ( s , t ) z 3 + ⋯ ) {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{s,t}(z)=f_{t}^{-1}\circ f_{s}(z)=e^{s-t}(z+a_{2}(s,t)z^{2}+a_{3}(s,t)z^{3}+\cdots )}} としよう。 これはレヴナーチェーンとレヴナーの半群を与え、 p t ( z ) = 1 + κ ( t ) z 1 − κ ( t ) z {\displaystyle \displaystyle {p_{t}(z)={1+\kappa (t)z \over 1-\kappa (t)z}}} となっている。ここに κ は [0,∞) から単位円への連続写像である。 κ を決定するためには、写像 φ s , t {\displaystyle \varphi _{s,t}} は、単位円板から、内部の点を境界へ押しやるようなジョルダン曲線の弧を持つ単位円板の中への写像へ移すことに注意する。境界に触れている点は s と独立であり、[0,∞) から単位円への連続函数 λ(t) を定義する。κ(t) は λ(t) の複素共役、（もしくは、逆数）で、 κ ( t ) = λ ( t ) − 1 {\displaystyle \displaystyle {\kappa (t)=\lambda (t)^{-1}}} である。 同じことであるが、カラテオドリの共形写像定理 (Carathéodory's theorem) により、ft は閉円板への連続的に拡張され、しばしば駆動函数(driving function)と呼ばれる λ(t) は、 f t ( λ ( t ) ) = c ( t ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(\lambda (t))=c(t)}} として特徴づけられる。 全ての連続函数 κ がスリット写像から来るわけではないが、クファレフ(Kufarev)は κ が連続的な微分を持つときに、このことが成り立つことを示した。
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