ビーベルバッハ予想への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/06 21:56 UTC 版)
「レヴナー微分方程式」の記事における「ビーベルバッハ予想への応用」の解説
Loewner (1923) でレヴナーは、スリット写像の微分方程式を使い、単葉函数 f ( z ) = z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + ⋯ {\displaystyle \displaystyle {f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots }} の第三番目の係数に対してのビーベルバッハ予想 | a 3 | ≤ 3 {\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|\leq 3}} を証明した。 この場合、必要により回転させることとし、a3 は非負であることを前提としている。 すると、連続な an を持つ φ 0 , t ( z ) = e − t ( z + a 2 ( t ) z 2 + a 3 ( t ) z 3 + ⋯ ) {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,t}(z)=e^{-t}(z+a_{2}(t)z^{2}+a_{3}(t)z^{3}+\cdots )}} を得て、これらが a n ( 0 ) = 0 , a n ( ∞ ) = a n {\displaystyle \displaystyle {a_{n}(0)=0,\,\,a_{n}(\infty )=a_{n}}} を満たす。 α ( t ) = e − t κ ( t ) {\displaystyle \displaystyle {\alpha (t)=e^{-t}\kappa (t)}} とすると、レヴナー微分方程式は、 a 2 ˙ = − 2 α {\displaystyle \displaystyle {{\dot {a_{2}}}=-2\alpha }} であり、 a 3 ˙ = − 2 α 2 − 4 α a 2 {\displaystyle \displaystyle {{\dot {a_{3}}}=-2\alpha ^{2}-4\alpha \,a_{2}}} であることを意味する。 従って、 a 2 = − 2 ∫ 0 ∞ α ( t ) d t {\displaystyle \displaystyle {a_{2}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha (t)\,dt}} である。ここから、直ちにビーベルバッハの不等式 | a 2 | ≤ 2. {\displaystyle \displaystyle {|a_{2}|\leq 2.}} が従う。 同様に、 a 3 = − 2 ∫ 0 ∞ α 2 d t + 4 ( ∫ 0 ∞ α d t ) 2 {\displaystyle \displaystyle {a_{3}=-2\int _{0}^{\infty }\alpha ^{2}\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\alpha \,dt\right)^{2}}} である。a3 は非負であり、|κ(t)| = 1 であるから、コーシー＝シュワルツの不等式を使い、 | a 3 | = 2 ∫ 0 ∞ | ℜ α 2 | d t + 4 ( ∫ 0 ∞ ℜ α d t ) 2 ≤ 2 ∫ 0 ∞ | ℜ α 2 | d t + 4 ( ∫ 0 ∞ e − t d t ) ( ∫ 0 ∞ e t ( ℜ α ) 2 d t ) {\displaystyle \displaystyle {|a_{3}|=2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha ^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }\Re \alpha \,dt\right)^{2}}\leq 2\int _{0}^{\infty }|\Re \alpha ^{2}|\,dt+4\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\right)\left(\int _{0}^{\infty }e^{t}(\Re \alpha )^{2}\,dt\right)} = 1 + 4 ∫ 0 ∞ ( e − t − e − 2 t ) ( ℜ κ ) 2 d t ≤ 3 {\displaystyle =1+4\int _{0}^{\infty }(e^{-t}-e^{-2t})(\Re \kappa )^{2}\,dt\leq 3} を得る。
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