レヴナー微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/30 12:51 UTC 版)
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数学では、レヴナー微分方程式(Loewner differential equation)、あるいは、レヴナー方程式(Loewner equation)とは、1923年にチャールズ・レヴナー(Charles Loewner)により複素解析と幾何学的函数論(geometric function theory)の中で発見された。もともとは、スリット写像（0 と ∞ をつなぐ曲線を持つ複素平面上への開円板(open disk)からの共形写像を研究するために導入されたのであるが、レヴナーの方法は、後日、ロシアの数学者 Pavel Parfenevich Kufarev (1909–1968) により再発見された。カラテオドリ(Constantin Carathéodory)の意味で連続的に全平面へ拡張された複素平面内の領域の族は、レヴナーチェーン(Loewner chain)と呼ばれる 1係数の共形写像の族を導き出す。これは、レヴナー半群(Loewner semigroup)と呼ばれる単位円板の正則で単葉な自己写像と同様である。この半群が正の実部を持つ円板上の正則函数の 1係数の族によって時間独立な正則ベクトル場に対応する。レヴナーの半群は、単葉な半群の考え方を一般化したものである。
レヴナー微分方程式は、1985年にルイ・ド・ブランジュ(Louis de Branges)によってビーベルバッハ予想が証明されたことでも重要な役割を演じた単葉函数の不等式を導く。レブナー自身は、予想の第三項を証明するため、1923年にこのテクニックを使った。1990年代の終わりにオデッド・シュラム(Oded Schramm)により発見されたレヴナー微分方程式の確率論的な一般化であるシュラム・レヴナー発展は、確率論や共形場理論で、飛躍的に発展している。
単葉函数の従属性
f と g を、単位円板 D, |z| < 1 の上の f(0) = 0 = g(0) である正則な単葉函数とする。
f が g に対し従属するとは、D 上の原点 0 を固定する単葉写像 
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