レヴナーの微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/06 21:56 UTC 版)
「レヴナー微分方程式」の記事における「レヴナーの微分方程式」の解説
レヴナーの微分方程式(Loewner differential equation)は、レヴナーの半群からもレブナーチェーンからも導くことができる。 半群からは、 w s ( z ) = ∂ t φ s , t ( z ) | t = s {\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=\partial _{t}\varphi _{s,t}(z)|_{t=s}}} とすると、|z| < 1 に対して、 ℜ p s ( z ) > 0 {\displaystyle \displaystyle {\Re \,p_{s}(z)>0}} となので、 w s ( z ) = − z p s ( z ) {\displaystyle \displaystyle {w_{s}(z)=-zp_{s}(z)}} となる。すると、 w ( t ) = φ s , t ( z ) {\displaystyle w(t)=\varphi _{s,t}(z)} は、初期条件 w(s) = z である常微分方程式 d w d t = − w p t ( w ) {\displaystyle \displaystyle {{dw \over dt}=-wp_{t}(w)}} を満たす。 レヴナーチェーンの満たす微分方程式 ft(z) を得るためには、 f t ( z ) = f s ( φ s , t ( z ) ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=f_{s}(\varphi _{s,t}(z))}} であることに注意すると、ft(z) は、初期条件 f t ( z ) | t = 0 = f 0 ( z ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)|_{t=0}=f_{0}(z)}} を持つ常微分方程式 ∂ t f t ( z ) = z p t ( z ) ∂ z f t ( z ) {\displaystyle \displaystyle {\partial _{t}f_{t}(z)=zp_{t}(z)\partial _{z}f_{t}(z)}} を満たす。 常微分方程式のピカール・リンデレフの定理(Picard–Lindelöf theorem)は、これらの方程式が解を持ち、解は z で正則であることを保証している。 レヴナーチェーンは、レヴナー半群から極限をとることを通して再発見された。 f s ( z ) = lim t → ∞ e t ϕ s , t ( z ) . {\displaystyle \displaystyle {f_{s}(z)=\lim _{t\rightarrow \infty }e^{t}\phi _{s,t}(z).}} 結局、D の単葉自己写像 ϕ ( z ) {\displaystyle \phi (z)} で原点 0 を固定するものが与えられると、 φ 0 , 1 ( z ) = ψ ( z ) {\displaystyle \displaystyle {\varphi _{0,1}(z)=\psi (z)}} であるようなレヴナー半群 w ( t ) = φ s , t ( z ) {\displaystyle w(t)=\varphi _{s,t}(z)} を構成することができる。 同様に、g(0) =0 である D 上の単葉函数 g で、g(D) が閉単位円盤を含むようなものが与えられると、レヴナーチェーン ft(z) が存在し、 f 0 ( z ) = z , f 1 ( z ) = g ( z ) {\displaystyle \displaystyle {f_{0}(z)=z,\,\,\,f_{1}(z)=g(z)}} が成り立つ。 もし、 φ {\displaystyle \varphi } もしくは、g が ∂D まで連続的に拡張できるならば、直ちにこの結果が得られる。これらの結果は、一般的には、写像 f(z) を近似 f(rz)/r に置き換え、標準のコンパクト性の議論を使うことにより得られる。
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