単葉函数の従属性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/06 21:56 UTC 版)
「レヴナー微分方程式」の記事における「単葉函数の従属性」の解説
f と g を、単位円板 D, |z| < 1 の上の f(0) = 0 = g(0) である正則な単葉函数とする。 f が g に対し従属するとは、D 上の原点 0 を固定する単葉写像 φ {\displaystyle \varphi } が存在し、全ての |z| < 1 に対して f ( z ) = g ( φ ( z ) ) {\displaystyle \displaystyle {f(z)=g(\varphi (z))}} となることとする。 そのような写像 φ {\displaystyle \varphi } が存在するための必要十分条件は、 f ( D ) ⊆ g ( D ) {\displaystyle f(D)\subseteq g(D)} である。必要性はすぐに出る。逆に φ {\displaystyle \varphi } を、 φ ( z ) = g − 1 ( f ( z ) ) {\displaystyle \displaystyle {\varphi (z)=g^{-1}(f(z))}} で定義すると、 φ {\displaystyle \varphi } は φ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \varphi (0)=0} の D の単葉自己写像である。 そのような写像は、 0 < | φ ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle 0<|\varphi '(0)|\leq 1} であり、各円板 Dr (|z| < r, 0 < r < 1) を自分自身へ写像するので、 | f ′ ( 0 ) | ≤ | g ′ ( 0 ) | , f ( D r ) ⊆ g ( D r ) {\displaystyle \displaystyle {|f^{\prime }(0)|\leq |g^{\prime }(0)|},\ \ \ \ \displaystyle {f(D_{r})\subseteq g(D_{r})}} であることが分かる。
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