レブナー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/01/24 03:52 UTC 版)
「シュラム・レヴナー発展方程式」の記事における「レブナー方程式」の解説
D を C と異なる単連結(simply connected)で開いた複素領域とし、γ を D の境界に出発点を持つ D の内部の単純曲線（ D の境界で γ(0) であり、γ((0, ∞)) は、D の部分集合となるような連続函数）とする。各々の t ≥ 0 に対し、γ([0, t]) 補集合 Dt は単連結となり、従って、リーマンの写像定理により D と共形同値(conformally isomorphic)である。ft が D から Dt への正規化された同型であれば、レヴナーがビーバーバッハの予想の仕事 Loewner (1923, p. 121) で発見していた微分方程式を満たす。Dt から D への共形写像である、ft の逆函数 gt を使う方が便利であるときもある。 レヴナー方程式の z は、領域 D の中で、t ≥ 0 であり、t = 0 の境界での値は f0(z) = z または、g0(z) = z である。この方程式は、D の境界でも値を持つ推進函数(driving function) ζ(t) に依存している。D が単位単板で、曲線 γ が「容量(capaity)」によりパラメトライズされていると、レヴナー方程式は、 もしくは、 となる。 D が上半平面のときは、レヴナー方程式は変数変換により、上記とは異なった方程式となり、 もしくは、 である。 推進函数 ζ と曲線 γ は、 or により関係付けられる。ここに ft と gt は連続性により拡張されている。
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レブナー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 18:32 UTC 版)
「シュラム・レヴナー発展」の記事における「レブナー方程式」の解説
詳細は「レヴナー微分方程式」を参照 (Loewner differential equation) D を C と異なる単連結(simply connected)で開いた複素領域とし、γ を D の境界に出発点を持つ D の内部の単純曲線（ D の境界で γ(0) であり、γ((0, ∞)) では、D の部分集合となるような連続函数）とする。各々の t ≥ 0 に対し、γ([0, t]) 補集合 Dt は単連結となり、従って、リーマンの写像定理により D と共形同値である。ft が D から Dt への正規化された同型であれば、レヴナーがビーベルバッハの予想の仕事 Loewner (1923, p. 121) で発見していた微分方程式を満たす。Dt から D への共形写像である、ft の逆函数 gt を使う方が便利であるときもある。以下では、レヴナー微分方程式をレヴナー方程式と記すこととする。 レヴナー方程式の z は、領域 D の中で、t ≥ 0 であり、t = 0 の境界での値は f0(z) = z または、g0(z) = z である。この方程式は、D の境界でも値を持つ駆動函数(driving function) ζ(t) に依存している。D が単位単板で、曲線 γ が「容量(capaity)」によりパラメトライズされていると、レヴナー方程式は、 ∂ f t ( z ) ∂ t = − z f t ′ ( z ) ζ ( t ) + z ζ ( t ) − z {\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}} もしくは、 ∂ g t ( z ) ∂ t = g t ( z ) ζ ( t ) + g t ( z ) ζ ( t ) − g t ( z ) {\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}} となる。 D が上半平面のときは、レヴナー方程式は変数変換により、上記とは異なった方程式となり、 ∂ f t ( z ) ∂ t = 2 f t ′ ( z ) ζ ( t ) − z {\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}} もしくは、 ∂ g t ( z ) ∂ t = 2 g t ( z ) − ζ ( t ) . {\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.} である。 駆動函数 ζ と曲線 γ は、 f t ( ζ ( t ) ) = γ ( t ) {\displaystyle \displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t)} or ζ ( t ) = g t ( γ ( t ) ) {\displaystyle \displaystyle \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))} により関係付けられる。ここに ft と gt は連続性により拡張されている。
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