数学的な美

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/03 00:37 UTC 版)

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表現の美の一例: マンデルブロ集合の境界付近、中心座標 (0.282, -0.01)、対角線座標 (0.278587, -0.012560) 〜 (0.285413, -0.007440) の領域の拡大。

多くの数学者は自らが考察している対象、あるいは数学そのものから美学的な喜びを覚えている。彼らは数学（あるいは少なくとも数学のある種の側面）を美として記述することにより、この喜びを表現している。数学者は芸術の一形態あるいは少なくとも創造的な行動として数学を表現している。このことはしばしば音楽や詩を対照として比較される。数学者バートランド・ラッセルは数学的な美に関する彼の印象を次のように表現した。

それを正しく考察された数学にあるものは真実のみではない。そこには至高の美、すなわち、彫刻が持つような冷淡で厳粛な美、人間の弱い性質が惹き付けられることなく、絵画や音楽の華麗な罠なしに、依然として崇高で純粋な、そして偉大な芸術のみが見せることができる強固な完成度の有能性を備えている。真の歓喜の精神は、高揚、人類以上のものであるという感覚、最も卓越した優越性の試金石であり、詩がそうであるように確実に数学において見つかるものだ^[1]。

ハンガリーの数学者ポール・エルデシュは数学の言語での表現不可能性（英語版）に関する彼の見解を次のような言葉で表現した^[2]。

「数は何故美しいのか。それはベートーベンの交響曲第九番がなぜ美しいのかと訊ねるようなものだ。君がその答を知らないのであれば、他の誰も答えることはできない。私は数が美しいということを知っている。もし数が美しくないのなら、美しいものなど何も無い。」

解法の美・手法の美

数学者は数学の証明方法において特に華麗さを評価する。これは例えば

最小限の既知事実や付加的仮定を使用した証明
異常に簡潔な証明
驚愕的な方法により結論を演繹する証明 (例えば、一見無関係な既知定理を用いた証明)
新しい独自の洞察に基づく証明
類似の問題群を解くための一般化が可能な証明方法

解法の美の一例: 三平方の定理の単純にして華麗な証明

のようなものである．

解法の美：多数の手段の中の美の発見

華麗な証明を模索する中で、数学者は一般には複数の証明方法から1つを選択することになるが、最初に使用された証明方法が常に最良とは限らない。多数の証明方法が知られている問題の典型例は三平方の定理であり、これまでに数百もの証明が公表されている^[3]。 解法の美は、この定理の証明にもいくつか見られる。右の図によれば、もはや文章や数式などを付与する必要は全くなく、図のみからその定理の成立がわかる。簡潔であるとともに説明の必要無しに直感的な理解を形成する典型例であり、上で列挙した五つの華麗さのうち少なくとも最初の四つを満たす。他の例として平方剰余の相互法則があり、カール・フリードリヒ・ガウスによりこの定理に対して8個の異なる証明が公表された。

逆に、論理的に正しいが膨大な計算量を要するような結果、念入りすぎる方法、大変に平凡なアプローチ、あるいは非常に強力な定理や既知の結果を多数使用する証明方法は通常は華麗とは看做されず、醜悪，不器用などと評価されることもある。

手法の美：モデルの美しさ

数学を道具として利用した中での手法の美のひとつとしてヨハネス・ケプラーの多面体太陽系モデル仮説が挙げられる。ケプラーの時代には太陽系の惑星として水星・金星・地球・火星・木星・土星の6個しか知られていなかった。ケプラーは正多面体が5種類しかないことと、6個の惑星の軌道による5個の隙間には、正多面体と球との外接・内接による関連性があるとの仮説を立てた。結果的にはこの仮説は彼の期待を裏切ることとなったが、後の古典力学の発展に繋がった。(#美と哲学も参照)

結論の美

結論の美の例: 複素平面において、e⁰ = 1 を出発点として時間 π に対応する距離を速度 i で移動して 1 を加算すると、0 に到達する。

一見無関係な印象を受ける二つの異なる数学分野を繋ぐ数学的な結論において美を見出す数学者もいる^[4]。そのような結果はしばしば深遠な洞察によるものと表現される。

ある結果が深遠な洞察によるものかどうかということについて一般的な同意を得ることは難しいが、いくつかの例がしばしば引用される。そのひとつはオイラーの等式、

e^{i\pi }+1=0

であり、一見無関係であると思われていたネイピア数 (自然対数の底) e, 虚数単位 i, 円周率 π の間に乗法単位元の 1 と乗法零元 (加法単位元) の 0 のみを用いた単純な関係を与えた。アメリカの物理学者リチャード・ファインマンはこの等式を「数学において最も特筆すべき式」(The most remarkable formula in mathematics) と称した。

現代的な例では、楕円曲線とモジュラー形式の間の重要な関連性を見出した谷山・志村予想がある。アンドリュー・ワイルズとその弟子ブライアン・コンラッド等はこの予想を肯定的に証明し、モジュラー性定理を確立した。モジュラー性定理はその帰結の一つとしてフェルマーの最終定理を肯定的に解決し、ワイルズはロバート・ラングランズと共にウルフ賞数学部門を受賞した。また、モンスター群 (en) をモジュラー関数に弦理論を通して結びつけるモンストラス・ムーンシャインはリチャード・ボーチャーズにフィールズ賞をもたらした。

ここでの深遠という言葉の対義語として自明を使用する。自明な方法は、他の既知の結果から明白あるいは簡単な方法で演繹できるような結果であるかも知れないし、空集合のように特定の対象の特定の集合にだけ適用できるものかも知れない。しかしながらしばしば、定理の記述の文章は、その証明がかなり明白であっても深い洞察をするのに十分に独自的であるかも知れない。

イギリスの数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディは彼の随筆である『ある数学者の生涯と弁明』で、数学的な美は驚愕の一要素から生じると示唆している。それに対してアメリカの数学者・哲学者であるジャン＝カルロ・ロタ (en) は同意せず、次のような反例を提示している。

「数学の偉大な多くの定理はそれが最初に出版されたときに驚愕される。従って例えば20年余り前 (1977年当時) の、高次元の超球におけるエキゾチック球面 (異種球面、en) の存在の証明は驚愕すべきものと考えられたが、現在ではその結論が美しいとは誰にも言わせるものではない。」^[5]

それに対してはおそらく皮肉にも、Michael Monastyrsky^[6]は次のように記している。

「7次元超球における異なる微分構造に関するジョン・ウィラード・ミルナーの美しい構成についてはそれ以前では類似の発見を探すことは大変に困難であり、... ミルナーのオリジナルの証明はそれほど構成的ではないが、後にE. ブリスコーンはそのような微分構造は究極的に明示的で美しい形で記述できることを示した。」

この反対意見は数学的な美しさの主観的な要素とその数学的な結論の関連性の両方、すなわちこの場合はエキゾチック球面の存在性のみではなくそれらの具体的な実現手段をも表現している。

脚注