モンストラス・ムーンシャインとは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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モンストラス・ムーンシャイン

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/13 20:34 UTC 版)

数学において、モンストラス・ムーンシャイン（英: monstrous moonshine）もしくはムーンシャイン理論（英: moonshine theory）とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイとサイモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズにより、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra; VOA)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。

歴史

1978年、ジョン・マッカイ（英語版）(John McKay)は、j (τ) のフーリエ展開（オンライン整数列大辞典の数列 A000521）

j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots

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2007年、エドワード・ウィッテンは、AdS/CFT対応から、 (2+1)-次元反ド・ジッター空間の純粋量子重力と、臨界正則CFTの間の双対性が導かれることを示唆した^[6]。(2+1)-次元の純粋重力は局所自由度を持たないが、宇宙定数が負のときはBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Höhn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場(Virasoro primary fields)を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。

ウィッテンの提案^[6]に従うと、AdS空間内の最大の負の宇宙定数を持つ重力は、中心電荷 $c=24$

2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が、有質量状態（英語版）の重複度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M₂₄)の既約表現の単純な結合のように見えるような、 N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解できることを発見した^[要出典]。このことは、M₂₄ 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しない^[要出典]ため、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことはいまだに謎のままである。

マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M. Cheng)は、多重乗法函数（英語版）(multiplicity function)と M₂₄ の非自明元の次数付きトレースの両方とも、モックモジュラー形式（英語版）(Mock modular form)を形成することを示唆した^[要出典]。2012年、ガノン(Gannon)は、重複度の最初のもの以外は M₂₄の表現の非負整数係数の線形結合であることを証明し^[要出典]、ガバルディエール(Gaberdiel)、パーソン(Persson)、ローネレンフィッチ(Ronellenfitsch)、ボロパト(Volpato)は、一般ムーンシャイン函数のすべての類似物を計算し、マチュー・ムーンシャインの背後に正則共形場理論の類似物が存在することを強く示唆した^[要出典]。2012年には、チェン(Cheng), ダンカン(Duncan), とハーヴィー（英語版）(Harvey)は、モックモジュラー形式がナイエメイヤー格子(Niemeier lattice)に付随して現れる、アンブラル・ムーンシャイン（英語版）現象の数値的な証拠を集めた^[要出典]。A₁²⁴ 格子の特別な場合からマチュー・ムーンシャインが導かれるが、一般に、未だこの現象は幾何学的な解釈は存在しない。

何故「モンストラス・ムーンシャイン」なのか？

「モンストラス・ムーンシャイン(monstrous moonshine)」という言葉は、コンウェイにより命名された。彼は、1970年代にジョン・マッカイ（英語版）(John McKay)から ${q}$ の係数（つまり、196884）は、グライス代数（英語版）(Griess algebra)の次元に正確に一致する（したって、モンスター群の最小な忠実複素表現の次数よりも 1 だけ大きい）と聞いたときに、これは気が狂いじみていて、馬鹿げた考え方であるいう意味の"moonshine"という返答をした^[10]。このように、この言葉は、モンスター群 M を意味するだけではなく、M とモジュラ函数の間の本質的な関係が馬鹿馬鹿しく見えることをも意味している。

しかしながら、「ムーンシャイン」はアメリカにおける密造ウィスキーの俗語でもあり、事実、この意味からも同じように説明される。モンスター群は、1970年代に数学者のジャン＝ピエール・セールやアンドリュー・オッグ（英語版）(Andrew Ogg)、ジョン・G・トンプソンにより、 SL₂(R) の部分群による双曲平面（英語版）の商として研究された^[要出典]。特に、SL(2,R) の中のモジュラ群 Γ₀(p) ^{[注 1]}の正規化因子 Γ₀(p)⁺ が研究された。セールらは、リーマン面を双曲面を Γ₀(p)⁺ で割った商とみることにより、（リーマン面の）種数がゼロとなることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71 のいづれかであることと同値であることを発見した。オッグが後日にモンスター群について聞いたときに、これらは M のサイズの第一因子になることに気付き、彼はこの事実を説明できた人にジャックダニエルのボトルを進呈すると論文に記載した^[11]。

脚注

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注釈

^ 与えられた正の整数 r に対し、モジュラ群 Γ₀(r) は次のように定義される。

$\Gamma _{0}(r):=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0\mod r\right\}.$

素数 p に対して、集合

$R_{\Gamma }\cup \bigcup _{k=0}^{p-1}ST^{k}(R_{\Gamma })$

（ここに Sτ = −1/τ であり、Tτ = τ + 1 とする）は、Γ₀(r) の基本領域である。

出典

参考文献

John Horton Conway and Simon P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11, 308–339, 1979. doi: 10.1112/blms/11.3.308
Frenkel, I.; Lepowsky, J.; Meurman, A. (1988), “Vertex Operator Algebras and the Monster”, Pure and Applied Math. (Academic Press) 134
Borcherds, Richard (1992), “Monstrous Moonshine and Monstrous Lie Superalgebras”, Invent. Math. 109: 405–444, doi:10.1007/bf01232032, http://math.berkeley.edu/~reb/papers/
Terry Gannon, Monstrous Moonshine: The first twenty-five years, 2004, online
Terry Gannon, Monstrous Moonshine and the Classification of Conformal Field Theories, reprinted in Conformal Field Theory, New Non-Perturbative Methods in String and Field Theory, (2000) Yavuz Nutku, Cihan Saclioglu, Teoman Turgut, eds. Perseus Publishing, Cambridge Mass. ISBN 0-7382-0204-5 (Provides introductory reviews to applications in physics).
Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3
Dixon, L.; Ginsparg, P.; Harvey, J. (1989), “Beauty and the Beast: superconformal symmetry in a Monster module”, Comm. Math. Phys. 119: 221–241, doi:10.1007/bf01217740
Witten, Edward (22 June 2007), Three-Dimensional Gravity Revisited, https://arxiv.org/pdf/0706.3359
Maloney, Alexander; Witten, Edward (2 December 2007), Quantum Gravity Partition Functions In Three Dimensions, https://arxiv.org/pdf/0712.0155
Li, Wei; Song, Wei; Strominger, Andrew (21 July 2008), CHIRAL GRAVITY IN THREE　DIMENSIONS, https://arxiv.org/pdf/0801.4566
Duncan, John F. R.; Frenkel, Igor B. (12 April 2012), Rademacher sums, moonshine and gravity, https://arxiv.org/pdf/0907.4529
Maloney, Alexander; Song, Wei; Strominger, Andrew (2010), “Chiral gravity, log gravity, and extremal CFT”, Phys. Rev. D 81, doi:10.1103/physrevd.81.064007, https://arxiv.org/pdf/0903.4573
Koichiro Harada, Monster, Iwanami Pub. (1999) ISBN 4-00-006055-4, (The first book about the Monster Group written in Japanese).
Mark Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Concise introduction for the lay reader).
Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, A Mathematician's Journey Through Symmetry. Fourth Estate, 2008 ISBN 0-00-721461-8, ISBN 978-0-00-721461-7
Ogg, Andrew (1974), “Automorphismes de courbes modulaires”, Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, tome 16, no. 1 (1974–1975), exp. no. 7