無限遠直線とは？わかりやすく解説

無限遠直線（むげんえんちょくせん、英: line at infinity）は、幾何学あるいは位相幾何学において実アフィン平面（英語版）に付加される直線である。射影平面の接続関係（英語版）に閉包性を与え特殊な場合を例外なく取り扱うために用いられる。無限遠線^[1]、無窮遠直線^[2]、無窮遠線^[3]、無窮線^[4]、あるいは理想線^[5] (ideal line^[6]) とも言われる。ポンスレらによって研究された^[7]。

幾何学的構築

アフィン幾何学やユークリッド幾何学において平行線は交わらないとされるが、射影幾何学においては任意の2直線が交わる。特に平行線は無限遠点で交わる。すべての無限遠点を含む直線を無限遠直線という^[8]。

任意の直線は無限遠直線と交わる。交点は直線の傾きのみに依存する。

アフィン平面において、直線は2方向に延びている。射影平面においてこの2方向の無限遠点は同一である。故に射影平面上の直線は閉曲線である。無限遠直線もまた閉曲線である。

位相幾何学的観点

無限遠直線はアフィン平面を囲う円とみなすこともできる。ただし円上の点の対蹠点は自身と一致する。アフィン平面と無限遠直線は実射影平面 $ℝ P 2$ を成す。

双曲線は2つの漸近線方向の無限遠点で自身と交わり、閉曲線とみなせる^[9]。同様に放物線も軸方向の無限遠点で無限遠直線と接する^[10]閉曲線とみなすことができる。

複素射影平面における無限遠直線の類似物は、無限遠の複素射影直線である。しかし、2次元複素アフィン空間上にリーマン球面を付加し4次元コンパクト多様体を成すという点で、位相幾何学的に無限遠直線とは全く異なる。実射影平面とは異なり、この結果は向き付け可能である。

歴史

複素無限遠直線は19世紀の幾何学でよく使われた。無限遠直線上のある二点（虚円点）を通る円錐曲線として円を扱うことに応用された。

虚円点 $I, J$ は円の方程式から低次の項を除いた方程式 $X 2 + Y 2 = 0$ の解である。通常、射影幾何学においては同次座標系（英語版） $[X : Y : Z]$ が採択される。

$I = [1: i :0] , J = [1:- i :0]$

無限遠直線は、 $Z = 0$ で表される^[11]^[12]。すべての円は無限遠直線上の虚円点を通る^[13]。

虚円点は任意に代表元を取っても複素点となる。ただし、射影直線は十分大きい対称変換群を持つため、虚円点の存在は特別なことではない。3つの変数からなる円の族は、与えられた2点を通る円錐曲線の決定（英語版）の特別な場合としてみなすことができる。

初等幾何学

三角形幾何学（ドイツ語版）において、無限遠直線は様々な特徴づけが成される。三角形の3辺の長さを $a, b, c$ とする。無限遠直線は三線座標 $(p, q, r)$ において $a p + b q + c r = 0$ 、重心座標 $(p, q, r)$ において $p + q + r = 0$ と表される^[6]^[14]。重心の三線極線としても定義できる^[15]。外接円とシュタイナー楕円はそれぞれ等角共役、等長共役によって無限遠直線に移る。一般に外接円錐曲線の、自身による平行弦共役は無限遠直線に移る^[16]。

円による反転によって、無限遠直線は基準円の中心に映る。また、円の中心の極線は無限遠直線である。

出典

[脚注の使い方]

^ 渡辺義勝『図表及ビ図計算』弘道館、1938年、143-145頁。NDLJP:1875780。
^ 中川銓吉『近世綜合幾何学演習』共立出版、1948年、159頁。NDLJP:1063414。
^ ウジェーヌ・ルーシェ、シャルル・ド・コンブルース著、小倉金之助訳『初等幾何學第2卷空間之部』山海堂、1915年、62,319,459頁。NDLJP:1082037。
^ ウヰルソン著、林田雷次郎訳『幾何学』大平俊章等、1887年、77頁。NDLJP:828420。
^ 米山国蔵『数学之基礎上』積善館、1925年、145頁。NDLJP:925124。
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. “Line at Infinity”. mathworld.wolfram.com (英語).
^ 高木貞治『輓近高等数学講座第2巻』共立社、1933年、153頁。NDLJP:1078175。
^ 「無限遠直線」『ブリタニカ国際大百科事典』。コトバンクより2026年2月15日閲覧。
^ “学問入門講座”. 青山学院大学理工学部物理・数理学科. 2024年8月28日閲覧。
^ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、53,99頁。NDLJP:1063410。
^ “射影平面と双対性”. 2024年8月28日閲覧。
^ 森本清吾『座標幾何学 (共立全書 ; 第40)』共立出版、1952年、75,77,81,89,111頁。NDLJP:1372006。
^ リヒター-ゲバート, J.、コルテンカンプ, U. H.『シンデレラ: 幾何学のためのグラフィックス』Springer Science & Business Media、2003年11月26日。 ISBN 978-4-431-70966-4。
^ 一松, 信編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年、20頁。 ISBN 978-4-7687-0437-0。
^ Weisstein, Eric W. “Trilinear Pole”. mathworld.wolfram.com (英語).
^ 齋藤輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年8月28日閲覧。

無限遠直線とは？わかりやすく解説