ドラゴン曲線

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ドラゴン曲線

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/12 16:01 UTC 版)

ドラゴン曲線（ドラゴンきょくせん、英語: Dragon curve）とは、L-system（リンデンマイヤー・システム）のような再帰法を用いて構成することの出来る、ある自己相似性フラクタルの族に含まれている曲線のことを言う。

ヘイウェイ・ドラゴン

ヘイウェイ・ドラゴン曲線

ヘイウェイ・ドラゴン（ハーター・ヘイウェイ・ドラゴンあるいはジュラシック・パーク・ドラゴンとも呼ばれる）は、NASAの物理学者のジョン・ヘイウェイ、ブルース・バンクスおよびウィリアム・ハーターによって初めて研究され、1967年、雑誌『サイエンティフィック・アメリカン（Scientific American）』のマーティン・ガードナーによるコラム「数学ゲーム（Mathematical Games）」で紹介された。その性質についてはチャンドラー・デイビスとドナルド・クヌースによって初めて出版化された。マイケル・クライトンの小説『ジュラシック・パーク』の節ごとのタイトルページで使用されている。

構成方法

Recursive construction of the curve

ヘイウェイ・ドラゴンは、

• 角度 90°
• 初期文字列 FX
• 文字列書き換え規則
  • X ${\displaystyle \rightarrow }$
    The first 5 iterations and the 9th

    ヘイウェイ・ドラゴンは次のような複素平面における反復関数系の極限集合でもある:

    ${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\left(1+i\right)z}{2}}}$

    • その表面（surface）も単純である。初期線分が 1 と等しいなら、その表面は ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$
      • そのフラクタル次元は計算によって ${\displaystyle \textstyle {{\frac {\ln 2}{\ln {\sqrt {2}}}}=2}}$

4つの曲線による第1エレメント

4つの曲線による第2エレメント

4つの曲線による第3エレメント

自分自身のタイル張り

2つの曲線による第1エレメント

2つの曲線による第2エレメント（ツインドラゴン）

2つの曲線による第3エレメント

平面タイル張りの例

平面タイル張りの例

平面タイル張りの例

ある初期スパイラルから sqrt(2) の比率でサイズが増大していくドラゴン曲線。90° の回転を伴う4スパイラルによる平面タイル張り

ツインドラゴン

二つのヘイウェイ・ドラゴンを背中合わせに配置することにより、ツインドラゴン（デイビス-クヌース・ドラゴンとも呼ばれる）を作ることが出来る。それは反復関数系

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

ツインドラゴン曲線

二つのヘイウェイ・ドラゴンにより構成されるツインドラゴン曲線

テルドラゴン

テルドラゴン曲線

テルドラゴンはL-system

• 角度 120°
• 初期文字列 F
• 文字列書き換え規則
  • F ${\displaystyle \rightarrow }$
    レヴィC曲線

    解集合から導かれるドラゴン曲線

    ある微分方程式の解集合が得られたとき、それらの解の線形結合は、重ね合わせの原理により再び元の微分方程式を満たすものとなる。これはすなわち、すでに存在している解の集合に対してある関数を適用することによって、新たな解を導くことが出来るという意味でもある。これは反復関数系を用いてある集合内に新たな点を導出する方法と同様である（ただし、そのような反復関数は線形関数であるとは限らない）。同様な概念により、関数の集合へとそのような反復的な手法を用いることによって、リトルウッド多項式（英語版）の集合を導くことが出来る。

    リトルウッド多項式とは、多項式

    ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}$

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