構成方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/20 07:13 UTC 版)
ヘイウェイ・ドラゴンは、 角度 90° 初期文字列 FX 文字列書き換え規則X → {\displaystyle \rightarrow } X+YF+ Y → {\displaystyle \rightarrow } −FX−Y. であるようなL-systemにより構成することが出来る。 また、次のような手順で描くことが出来る: 基本となる線分から始めて、各線分を「直角をなすような二つの線分」によって置き換える。ただし置き換える際に線分を回転させる方向は、右、左…と交互になるようにする。 ヘイウェイ・ドラゴンは次のような複素平面における反復関数系の極限集合でもある: f 1 ( z ) = ( 1 + i ) z 2 {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\left(1+i\right)z}{2}}} f 2 ( z ) = 1 − ( 1 − i ) z 2 {\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {\left(1-i\right)z}{2}}} ここで、点の初期集合は S 0 = { 0 , 1 } {\displaystyle S_{0}=\{0,1\}} とする。 実数のペアを用いれば、これは次のような二つの関数 f 1 ( x , y ) = 1 2 [ cos 45 ∘ − sin 45 ∘ sin 45 ∘ cos 45 ∘ ] [ x y ] ≡ 1 2 [ 1 − 1 1 1 ] [ x y ] , {\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\equiv {\dfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},} f 2 ( x , y ) = 1 2 [ cos 135 ∘ − sin 135 ∘ sin 135 ∘ cos 135 ∘ ] [ x y ] + [ 1 0 ] ≡ 1 2 [ − 1 − 1 1 − 1 ] [ x y ] + [ 1 0 ] {\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\equiv {\dfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} とも等しい。Apophysisのようなソフトウェアでは、こちらの表現の方が一般的に使われている。
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構成方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:26 UTC 版)
ハミルトニアンは、ラグランジュ形式の解析力学におけるラグランジアンをルジャンドル変換することで構成される。その具体的な方法は次のとおりである。まず、対象とする系に対してラグランジアン L = L ({qi}, {·qi}; t) を構成する。次に正準運動量を p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\partial L \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}} で定義する。この正準運動量を用いて、ラグランジアンに対して、変数の組 (qi, ·qi) から (qi, pi) へのルジャンドル変換を行う。その結果、ハミルトニアン H ( { q i } , { p i } ; t ) = ∑ i p i q ˙ i − L ( { q i } , { q ˙ i } ; t ) {\displaystyle H(\{q_{i}\},\{p_{i}\};t)=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(\left\{q_{i}\right\},\left\{{\dot {q}}_{i}\right\};t)} が得られる。ここで、右辺に現れる {·qi} は正準運動量の定義式を通じて、{pi} で書き直し、ハミルトニアンを ({qi}, {pi}) の関数として表す必要がある。なお、ラグランジアンの全微分が、 d L = ∑ i { p i d q ˙ i + p ˙ i d q i } {\displaystyle dL=\sum _{i}\left\{p_{i}d{\dot {q}}_{i}+{\dot {p}}_{i}dq_{i}\right\}} となることに着目すると d H = ∑ i { d p i ⋅ q ˙ i + p i d q ˙ i } − d L = ∑ i { q ˙ i d p i − p ˙ i d q i } {\displaystyle dH=\sum _{i}\left\{dp_{i}\cdot {\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i}\right\}-dL=\sum _{i}\left\{{\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dq_{i}\right\}} であり、この表式からハミルトンの正準方程式が導かれる。 対象とする系に対し、いろいろな座標系の取り方が可能である。例を挙げると、中心力場の問題では、極座標系で記述されることが多い。これはその方が問題を解く上で通常の直交座標系を使うより便利なためである。扱う系により、扱うのに適した座標系はまちまちとなる。
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