階数 2 のディンキン図形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)
「ディンキン図形」の記事における「階数 2 のディンキン図形」の解説
ディンキン図形は一般カルタン行列と同値である。階数 2 のディンキン図形を対応する 2 × 2 カルタン行列とともに書いたこの表に示されているように。 階数 2 のときは、カルタン行列の形は A = [ 2 a 12 a 21 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{bmatrix}}} である。多重辺図形はカルタン行列の非対角成分 −a21, −a12 に対応し、描かれる辺の個数は max(−a21, −a12) に等しく、矢印は −1 でない元を指している。 一般カルタン行列は正方行列 A = (aij) であって以下を満たすものである： 対角成分に対して、aii = 2. 非対角成分に対して、aij ≤ 0. aij = 0 ⇔ aji = 0. 一般カルタン行列は群が有限型であるか（それが正定値行列のとき、すなわちすべての固有値が正のとき）、アファイン型であるか（それが正定値ではないが、半正定値であるとき、すなわちすべての固有値が非負のとき）、不定値型であるかを決定する。不定値型はしばしばさらに細分化され、例えばコクセター群がローレンツ型であるとは、それが1つの負の固有値を持ち全ての他の固有値は正であることをいう。さらに、複数の文献が双曲型コクセター群に言及しているが、この用語にはいくつかの同値でない定義がある。以下の議論では、双曲型コクセター群はローレンツ型の特別な場合で、ある追加の条件を満たすものである。階数 2 に対しては、行列式が負のすべてのカルタン行列は双曲型コクセター群に対応することに注意。しかし一般には、行列式が負のほとんどの行列は双曲型でもローレンツでもない。 （連結）有限型は (−a21, −a12) = (1, 1), (2, 1), (3, 1) で、アファイン型（行列式 0）は (−a21, −a12) = (2, 2), (4, 1) である。 階数 2 のディンキン図形グループの名前ディンキン図形カルタン行列対称性の位数関連するsimply-laced群3（標準）多重辺グラフ値付きグラフ1コクセターグラフ2 [ 2 a 12 a 21 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{bmatrix}}} 行列式(4 − a21a12)有限 (行列式 > 0)A1 × A1 [ 2 0 0 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]} 4 2 A2（無向） [ 2 − 1 − 1 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]} 3 3 B2 [ 2 − 2 − 1 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]} 2 4 A3 C2 [ 2 − 1 − 2 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]} 2 4 A3 BC2（無向） [ 2 − 2 − 2 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]} 2 4 G2 [ 2 − 1 − 3 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]} 1 6 D4 G2（無向） [ 2 − 3 − 3 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]} 1 6 アファイン (行列式 = 0)A(1)1 [ 2 − 2 − 2 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]} 0 ∞ A ~ 3 {\displaystyle {\tilde {A}}_{3}} A(2)2 [ 2 − 1 − 4 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]} 0 ∞ D ~ 4 {\displaystyle {\tilde {D}}_{4}} 双曲 (行列式 < 0) [ 2 − 1 − 5 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right]} −1 - [ 2 − 2 − 3 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]} −2 - [ 2 − 1 − 6 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right]} −2 - [ 2 − 1 − 7 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right]} −3 - [ 2 − 2 − 4 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]} −4 - [ 2 − 1 − 8 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right]} −4 - [ 2 − 3 − 3 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]} −5 - [ 2 − b − a 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right]} 4 − ab < 0 - 注1: 双曲群 (a12a21>4) に対して、多重辺スタイルは捨てて、辺上の明示的なラベル付け (a21, a12) を選んだ。これらは通常有限およびアファイングラフには適用されない。 注2: 無向群に対して、コクセター図形（英語版）は交換可能である。それらは通常、対称性の位数によってラベル付けされ、位数 3 はラベルを付けない。 注3: 多くの多重辺群は適切な folding operation を施すことによって階数の高い simply-laced 群から得られる。
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