連続的な意味での故障率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/14 20:37 UTC 版)
ハザード関数 h ( t ) {\displaystyle h(t)} を対数ロジスティック分布（英語版）を選択してプロットした。 故障率をより小さな時間間隔で計算すると、ハザード関数（hazard function、ハザード率（hazard rate）とも呼ばれる） h ( t ) {\displaystyle h(t)} が得られる。これは、 Δ t {\displaystyle \Delta t} がゼロに近づくにつれて、瞬間故障率（instantaneous failure rate）あるいは瞬間ハザード率（instantaneous hazard rate）と呼ばれるものになる。 h ( t ) = lim Δ t → 0 R ( t ) − R ( t + Δ t ) Δ t ⋅ R ( t ) . {\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t\cdot R(t)}}.} 連続故障率は、時刻 t {\displaystyle t} まで（少なくとも）の故障確率 Pr {\displaystyle \operatorname {Pr} } を表す累積分布型の故障分布関数 F ( t ) {\displaystyle F(t)} に依存しており、 Pr ( T ≤ t ) = F ( t ) = 1 − R ( t ) , t ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {Pr} (T\leq t)=F(t)=1-R(t),\quad t\geq 0\!} と表される。ここに T {\displaystyle {T}} は故障時間である。 この故障分布関数は、故障密度関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} の積分で、 F ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) d τ {\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \!} である。これによりハザード関数は、 h ( t ) = f ( t ) 1 − F ( t ) = f ( t ) R ( t ) {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}} と定義できる。 故障分布のモデル化においては、多くの確率分布を用いることができる（確率分布のリスト（英語版）を参照）。 一般的なモデルは、指数密度関数に基づく指数故障分布、 F ( t ) = ∫ 0 t λ e − λ τ d τ = 1 − e − λ t {\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t}\!} である。 これに対するハザード率関数は、 h ( t ) = f ( t ) R ( t ) = λ e − λ t e − λ t = λ {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda } である。このように、指数故障分布では、ハザード率は時間に対して一定である（つまり「無記憶性（英語版）」分布）。ワイブル分布や対数正規分布のような他の分布では、ハザード関数は時間に対して一定ではない場合がある。確定的分布などの一部では単調増加であり（「摩耗」に類似）、パレート分布などの他の分布では単調減少であるが（「バーンイン（英語版）」に類似）、多くの場合は単調ではない。 微分方程式 h ( t ) = f ( t ) 1 − F ( t ) = F ′ ( t ) 1 − F ( t ) {\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {F'(t)}{1-F(t)}}} を F ( t ) {\displaystyle F(t)} について解くと、 F ( t ) = 1 − exp ( − ∫ 0 t h ( t ) d t ) {\displaystyle F(t)=1-\exp {\left(-\int _{0}^{t}h(t)dt\right)}} であることがわかる。
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