連続的空間のコンパクト化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:22 UTC 版)
「アレクサンドロフ拡大」の記事における「連続的空間のコンパクト化」の解説
n-次元ユークリッド空間 Rn の一点コンパクト化は n-次元球面 Sn に同相である。これは最初の例で見たように、n-次元の逆立体射影として埋め込み写像が与えられる。 半開半閉区間 [0, 1) の κ 個のコピーの直積 [0, 1)κ の一点コンパクト化は [0, 1]κ に同相である。 連結部分集合の閉包もまた連結であるから、非コンパクト連結空間のアレクサンドロフ拡大も連結である。しかし、非連結空間の一点コンパクト化が「連結」となることが起こり得る。実例として、開区間 (0, 1) の κ 個のコピーからなる非交和の一点コンパクト化は k-弁の円のブーケになる。 コンパクトハウスドルフ空間 X と X の任意の閉部分集合 C に対し、差集合 X ∖ C の一点コンパクト化は C を一点につぶした等化空間 X/C に同相である。 X, Y が二つの局所コンパクトハウスドルフ空間であるとき、それらの直積空間の一点コンパクト化は (X × Y)* = X* ∧ Y* で与えられる。ここでスマッシュ積 ∧ は、一点和 ∨ に関する等化空間 A ∧ B := (A × B)/(A ∨ B) として定義されるものである。
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