素朴な定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 04:53 UTC 版)
二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則（x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する）が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い）を使って y = f (x) と書いて、x = a を代入したときに決まる関数の値を f (a) と表す。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の y の値について対応する x の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この f (x) という表記法は18世紀の数学者オイラーによるものである。オイラーは、変数や定数を組み合わせてできた数式のを関数と定義していたが、コーシーは、上に述べたように y という変数を関数と定義した。 y が x の関数であることの別の表現として、変数 y は変数 x に従属するとも言い、y を従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の定義域 (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値（変域）を、この関数の値域 (range) という。 関数の終域は実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } や複素数体 C {\displaystyle \mathbb {C} } の部分集合であることが多い。終域が実数の集合となる関数を実数値関数 (real valued function) といい、終域が複素数の集合となる関数を複素数値関数 (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を実関数 (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を複素関数 (complex function) という。
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