空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「空間の回転対称性からみた軌道角運動量演算子」の解説
（非相対論的な）量子力学において、波動関数全体の集合はヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} として記述可能であり、（スピンを考慮しない）一粒子からなる系の場合、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は3次元ユークリッド空間 R3 上のL2 空間と等しい、すなわち H = L 2 ( R 3 ) {\displaystyle {\cal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} である。 軌道角運動量演算子は、空間の回転に対する対称性として導出される:p73。 そこで軌道角運動量演算子を導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。3次元の回転行列全体のなすリー群を SO(3) と書くとき、回転行列 R ∈ SO(3) により座標系を回転したとき、波動関数 ϕ(x) は ϕ(R−1x) に移動する。すなわち、各回転行列 R ∈ SO(3) に対し、波動関数の空間 L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上にユニタリ演算子 λ ( R ) : L 2 ( R 3 ) → L 2 ( R 3 ) , {\displaystyle \lambda (R)~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),~~} ϕ ( x ) ↦ ϕ ( R − 1 x ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})\mapsto \phi (R^{-1}{\boldsymbol {x}})} が定義される:p37:p396 Def 17.1。 複素計量ベクトル空間V上のユニタリ演算子全体のなす群をU(V)とするとき、回転行列 R に対し複素ベ クトル空間 L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ演算子 λR を対応させる（連続準同型）写像 λ : R ∈ S O ( 3 ) ↦ λ ( R ) ∈ U ( L 2 ( R 3 ) ) {\displaystyle \lambda ~:~R\in \mathrm {SO} (3)\mapsto \lambda (R)\in \mathrm {U} (L^{2}(\mathbf {R} ^{3}))} を SO(3) の L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ表現という。 一方、SO(3) に対応する「無限小変換」全体の集合 so(3) を(G1)のように定義し、(G14)に従ってλが誘導する写像λ*を λ ∗ : d R ( t ) d t | t = 0 ∈ s o ( 3 ) {\displaystyle \lambda _{*}~:~{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {so}}(3)} ↦ d λ ( R ( t ) ) d t | t = 0 ∈ { L 2 ( R 3 ) {\displaystyle \mapsto {\operatorname {d} \lambda (R(t)) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}} そこで単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ R3に対し、Fnを(G11)のように定義し、虚数単位 i と換算プランク定数ħを用いて、 L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }} = i ℏ λ ∗ ( F n ) {\displaystyle =i\hbar \lambda _{*}(F_{\mathbf {n} })} …(J1) と定義すると、 L ^ n {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }} はL2(R3)上のエルミート演算子になる。この演算子は「無限小回転Fnに対応する演算子」:p73であり、この演算子を軸 n = (x, y, z) ∈ R3の周りの軌道角運動量演算子と呼ぶ。 例えば z 軸の周りの軌道角運動量 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} が球面座標系 (r, θ, φ) を用いて L ^ z = − i ℏ ∂ ∂ φ {\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }} と表記できる事を以下のように確認できる。ψを任意の波動関数とすると、(G10)、(G12)より L ^ z ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\psi (r,\theta ,\varphi )} = i ℏ λ ∗ ( F ( 1 , 0 , 0 ) ) ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =i\hbar \lambda _{*}(F_{(1,0,0)})\psi (r,\theta ,\varphi )} = λ ∗ ( d d t exp ( t F ( 1 , 0 , 0 ) ) | t = 0 ) ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =\lambda _{*}\left({\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\exp(tF_{(1,0,0)}){\Bigg |}_{t=0}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )} = i ℏ d λ ( exp ( t F ( 1 , 0 , 0 ) ) ) d t | t = 0 ψ ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \lambda (\exp(tF_{(1,0,0)})) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\psi (r,\theta ,\phi )} = i ℏ d d t ψ ( r , θ , φ − t ) | t = 0 {\displaystyle =i\hbar {\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\psi (r,\theta ,\varphi -t){\Bigg |}_{t=0}} = − i ℏ ∂ ∂ φ ψ ( r , θ , φ ) {\displaystyle =-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }\psi (r,\theta ,\varphi )} さらに x 軸、y 軸の周りの軌道角運動量をそれぞれ L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}} 、 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} とし、Fx=F(1,0,0)、Fy=F(0,1,0)、Fz=F(0,0,1)とすると、(G15)、(G13)より交換関係 [ L ^ x , L ^ y ] = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( [ F x , F y ] ) = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( F z ) = L ^ z {\displaystyle [{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{x},F_{y}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{z})={\hat {L}}_{z}} [ L ^ y , L ^ z ] = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( [ F y , F z ] ) = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( F x ) = L ^ x {\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{y},F_{z}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{x})={\hat {L}}_{x}} [ L ^ z , L ^ x ] = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( [ F z , F x ] ) = ( i ℏ ) 2 λ ∗ ( F z ) = L ^ y {\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{z},F_{x}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{z})={\hat {L}}_{y}} が従う。 2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、SO(3) のユニタリ表現 λ によって結ばれる。すなわち、R を回転行列で z 軸を w 軸に移すものとすると、w 軸の周りの軌道角運動量 L ^ w {\displaystyle {\hat {L}}_{w}} は合成写像 L ^ w = λ ( R ) L ^ z λ ( R ) − 1 {\displaystyle {\hat {L}}_{w}=\lambda (R){\hat {L}}_{z}\lambda (R)^{-1}} である。
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