標準偏差楕円とは? わかりやすく解説

標準偏差楕円

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/27 03:06 UTC 版)

セントログラフィー」の記事における「標準偏差楕円」の解説

標準偏差楕円(standard deviational ellipse)は、点分布ばらつき表現した楕円のことである。記述統計学における標準偏差対応した測度であるが、点分布パターン方向性ばらつき存在する場合用いられる。点データ平均的な位置ばらつき方向形状数値化するとともに楕円として図化もできる。 点に重みない場合 点 i {\displaystyle i} の位置を、座標変換により x ′ {\displaystyle x'} y ′ {\displaystyle y'} 座標系で式(6)のように表現するx i ′ = x i − X ¯ {\displaystyle {x_{i}}'=x_{i}-{\bar {X}}} y i ′ = y i − Y ¯ {\displaystyle {y_{i}}'=y_{i}-{\bar {Y}}} (6) これにより、平均中心が x ′ {\displaystyle x'} y ′ {\displaystyle y'} 座標原点表示されることになる。 次に、標準偏差楕円の長軸短軸y軸x軸重なるように座標回転させ、 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 座標系で式(7)のように表現するX i = x i ′ cos ⁡ θ + y isin ⁡ θ {\displaystyle X_{i}={x_{i}}'\cos \theta +{y_{i}}'\sin \theta } Y i = y icos ⁡ θ − x isin ⁡ θ {\displaystyle Y_{i}={y_{i}}'\cos \theta -{x_{i}}'\sin \theta } (7) このとき、 θ {\displaystyle \theta } は回転させた角度である。 X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 座標系におけるx軸y軸標準偏差 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} , σ y {\displaystyle \sigma _{y}} は式(8)で表現できる( μ ¯ x {\displaystyle {\bar {\mu }}_{x}} および μ ¯ y {\displaystyle {\bar {\mu }}_{y}} は X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 座標平均中心)。 σ x = ∑ i = 1 n ( X i − μ ¯ x ) 2 n {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{(X_{i}-{\bar {\mu }}_{x})}^{2}}{n}}}} σ y = ∑ i = 1 n ( Y i − μ ¯ y ) 2 n {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{(Y_{i}-{\bar {\mu }}_{y})}^{2}}{n}}}} (8) ここで、 μ ¯ x = 0 {\displaystyle {\bar {\mu }}_{x}=0} および μ ¯ y = 0 {\displaystyle {\bar {\mu }}_{y}=0} が成立するため、式(7)を代入して、式(9)が成立する。 σ x = ∑ i = 1 n ( x icos ⁡ θ + y isin ⁡ θ ) 2 n {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}({{x_{i}}'\cos \theta +{y_{i}}'\sin \theta })^{2}}{n}}}} σ y = ∑ i = 1 n ( y icos ⁡ θ − x isin ⁡ θ ) 2 n {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}({{y_{i}}'\cos \theta -{x_{i}}'\sin \theta })^{2}}{n}}}} (9) 点に重みがある場合 座標変換により点 i {\displaystyle i} の位置は式(10)で表現できるx i ′ = x i − X ′ ¯ {\displaystyle {x_{i}}'=x_{i}-{\bar {X'}}} y i ′ = y i − Y ′ ¯ {\displaystyle {y_{i}}'=y_{i}-{\bar {Y'}}} (10) 次に、標準偏差楕円の長軸短軸y軸x軸重なるように θ {\displaystyle \theta } だけ座標回転させる。 ここでx軸y軸標準偏差 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} , σ y {\displaystyle \sigma _{y}} について、式(11)が成立する。 σ x = ∑ i = 1 n ( x icos ⁡ θ + y isin ⁡ θ ) 2 w i ∑ i = 1 n w i {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}({{x_{i}}'\cos \theta +{y_{i}}'\sin \theta })^{2}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}} σ y = ∑ i = 1 n ( y icos ⁡ θ − x isin ⁡ θ ) 2 w i ∑ i = 1 n w i {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}({{y_{i}}'\cos \theta -{x_{i}}'\sin \theta })^{2}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}} (11) 分布形状表現 分布形状表現する測度として円形係数coefficient of circularity)があり、式(12)で求められる(ただし c {\displaystyle c} は円形係数、 a {\displaystyle a} は標準偏差楕円の長軸、 b {\displaystyle b} は標準偏差楕円の短軸である)。 c = b a {\displaystyle c={\frac {b}{a}}} (12) c {\displaystyle c} は 0 ≤ c ≤ 1 {\displaystyle 0\leq c\leq 1} をとり、 c = 0 {\displaystyle c=0} のときは線分c = 1 {\displaystyle c=1} のときは円をなす。 また、離心率用いて標準偏差楕円の形状評価するともできる地理学における利用 1971年Robert S. Yuillにより有用性主張されてから、地理学応用されるようになってきた。 また、認知地図研究でも用いられNathan Galeによると、標準偏差楕円を用いることで、認知地図歪み構成する2成分である錯誤系統的歪み分離することができる。認知地図から得られた標準偏差楕円の重心位置実際位置のずれは系統的歪みであり、被験者全体的な傾向を示すが、標準偏差楕円の大きさ錯誤由来し被験者により異なるものであり、被験者間での比較利用できる

※この「標準偏差楕円」の解説は、「セントログラフィー」の解説の一部です。
「標準偏差楕円」を含む「セントログラフィー」の記事については、「セントログラフィー」の概要を参照ください。

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