数理モデル化とは? わかりやすく解説

数理モデル化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/06 05:13 UTC 版)

双安定性」の記事における「数理モデル化」の解説

以下は力学系理論扱われるもっとも単純な双安定系の一つ数学的に表現したのであるd y d t = y ( 1 − y 2 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y(1-y^{2})} この系は y 4 4 − y 2 2 {\displaystyle {\frac {y^{4}}{4}}-{\frac {y^{2}}{2}}} の形を持つ曲線上を転がり落ちるボール表しており、3つの平衡点 y = 1 {\displaystyle y=1} 、 y = 0 {\displaystyle y=0} 、 y = − 1 {\displaystyle y=-1} を持つ。真ん中平衡点 y = 0 {\displaystyle y=0} は不安定、ほかの二点は安定である。時間とともに y ( t ) {\displaystyle y(t)} がどのように増減するかは初期条件 y ( 0 ) {\displaystyle y(0)} に依存する初期条件が正の場合( y ( 0 ) > 0 {\displaystyle y(0)>0} )解 y ( t ) {\displaystyle y(t)} は時間とともに1に近づくが、初期条件が負の場合( y ( 0 ) < 0 {\displaystyle y(0)<0} )は−1に近づく。この意味で系のダイナミクス双安定である。終状態は初期条件によって y = 1 {\displaystyle y=1} か y = − 1 {\displaystyle y=-1} のどちらかになる。この双安定領域出現については、分岐パラメータ r {\displaystyle r} の値によって超臨界ピッチフォーク分岐起きモデルd y d t = y ( r − y 2 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y(r-y^{2})} を通して理解できるパラメータ特定範囲でのみ双安定性発現する生化学システム存在し、そのパラメータフィードバック強さ解釈されることが多い。典型的ないくつかの例では、パラメータの値が小さときには一つ安定不動点しか存在しないパラメータ臨界値を超えるサドルノード分岐起きて新たな不動点の対(一つ安定もう一つは不安定)が生まれる。さらに増加する別のサドルノード分岐により不安定解が最初安定解と結合して消滅し後で生まれた安定解のみが残ることがあるパラメータがそれらの臨界値の間にあるなら系は2つ安定解を持つことになる。そのような性質を持つ力学系の例には d x d t = r + x 5 1 + x 5 − x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=r+{\frac {x^{5}}{1+x^{5}}}-x} がある。ここでは x {\displaystyle x} が出力であり、パラメータの r {\displaystyle r} が入力としてはたらく。 非線形結合振動子ノイズ加えた系では、二つ安定リミットサイクルの間を前後飛び移る「モードホッピング」と呼ばれる不安定性現れることがあり、そのポアンカレ断面上で通常の双安定性同様のふるまい見られる

※この「数理モデル化」の解説は、「双安定性」の解説の一部です。
「数理モデル化」を含む「双安定性」の記事については、「双安定性」の概要を参照ください。

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