微分可能函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/21 15:46 UTC 版)
「アスコリ＝アルツェラの定理」の記事における「微分可能函数」の解説
定理の仮定は、一様有界な導函数を持つ一様有界な微分可能函数の列 { fn } に対して満たされる。実際、導函数が一様有界であれば、平均値の定理より、すべての x と y に対して次が成立する。 | f n ( x ) − f n ( y ) | ≤ K | x − y | . {\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|.} ここで K はその列に含まれる函数の導函数の上限であり、n に依存しない。したがって ε > 0 が与えられたとき、δ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ε/2K とすることで列の同程度連続性の定義を確かめることが出来る。これにより次の系が成り立つ： {fn} を [a, b] 上で一様有界な実数値微分可能函数で、導函数 {fn′} も一様有界であるようなものの列とする。このとき、[a, b] 上で一様収束する部分列 {fnk} が存在する。 さらに二階導函数の列も一様有界であるなら、一階導函数も（部分列の違いを除いて）一様収束する。その他、連続的微分可能函数に対しても一般化が成立する。函数 fn は連続的微分可能で、その導函数 f′n は一様同程度連続かつ一様有界であり、列 { fn } は各点ごとに有界（あるいはただ一つの点で有界）とする。このとき、ある連続的微分可能函数に一様収束する { fn } の部分列が存在する。
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