微分可能性のクラス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 06:14 UTC 版)
詳細は「滑らかな関数」を参照 関数 f は、それ自体連続であるような導関数 f′(x) が存在するなら、連続的微分可能（continuously differentiable）であると言われる。微分可能関数の導関数が跳躍不連続点を持つことは無いが、真性不連続点を持つことはある。例えば、関数 f ( x ) = { x 2 sin ( 1 / x ) if x ≠ 0 0 if x = 0 {\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}} は点 0 において微分可能である。なぜならば、 f ′ ( 0 ) = lim Δ → 0 ( Δ 2 sin ( 1 / Δ ) − 0 Δ ) = 0 {\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta \to 0}\left({\frac {\Delta ^{2}\sin(1/\Delta )-0}{\Delta }}\right)=0} が存在するからである。しかし、x≠0 に対して、 f ′ ( x ) = 2 x sin ( 1 / x ) − cos ( 1 / x ) {\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)} であるが、これは x → 0 に対する極限を持たない（したがってこの関数 f は原点を含む区間において微分可能ではあるが連続的微分可能ではない）。それにもかかわらず、ダルブーの定理（英語版）によれば、任意の関数の導関数に対して中間値の定理は成立する。 しばしば連続的微分可能関数は、C1-級であると言われる。関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。より一般的に、k-階までの導関数 f′(x), f″(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる。
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