微分可能性と偏微分可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「微分可能性と偏微分可能性」の解説
f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して偏微分可能である。実際、 ( f ( t a + p ) − f ( p ) t ) − A ⋅ a = ( f ( t a + p ) − ( A ⋅ ( ( t a + p ) − p ) + f ( p ) ) ‖ ( t a + p ) − p ‖ ) ‖ a ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\mathbf {f} (t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)-\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} \\&=\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)\left\|\mathbf {a} \right\|\end{aligned}}} (2-5) ここで、 lim t → 0 ( f ( t a + p ) − ( A ⋅ ( ( t a + p ) − p ) + f ( p ) ) ‖ ( t a + p ) − p ‖ ) {\displaystyle \,{\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)} (2-6) は、(2-2) に x = p + t a {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {a} } を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の t → 0 {\displaystyle t\to 0} 極限は 0 となる。従って、 lim t → 0 f ( t a + p ) − f ( p ) t = A ⋅ a {\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} } (2-7) となる。以上より f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して偏微分可能であることが示された。 式 (1-5), (2-6) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能ならば ∂ [ a ] f | [ p ] = A ⋅ a {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} } (2-8) であることが分かる。
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