微分可能性と連続性とは? わかりやすく解説

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微分可能性と連続性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/01 06:14 UTC 版)

微分可能関数」の記事における「微分可能性と連続性」の解説

f が点 x0 において微分可能であるなら、f はその点 x0 において連続である。特に、微分可能関数どのようなものでも、その定義域内のすべての点において連続である。しかしその逆は成立しない:すなわち、連続関数は必ずしも微分可能ではない。例えば、折れbend)や尖点、あるいは垂直接線を伴う関数連続であることもあり得るが、それら例外的な箇所においては微分可能性失われている。 現実現れる多く関数は、すべての点あるいはほとんどすべての点において導関数を持つものである。しかし、バナッハによる一つ結果として、ある点において導関数を持つ関数集合は、すべての連続関数からなる空間におけるやせた集合英語版)であることが示されている。くだけた言い方をすると、このことはつまり、微分可能関数連続関数中でも珍しいものであることを意味している。至る所連続であるが、どこにおいても微分可能ではない関数の最もよく知られた例は、ワイエルシュトラス関数である。

※この「微分可能性と連続性」の解説は、「微分可能関数」の解説の一部です。
「微分可能性と連続性」を含む「微分可能関数」の記事については、「微分可能関数」の概要を参照ください。

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Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaの微分可能関数 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

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