ゼロ拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
コンパクト台無限回微分可能函数全体の成す空間 C∞c(X) の Hs(X) における閉包として空間 Hs0(X) を定義する。上述のトレースを用いれば、定義を次のように述べることができる。 定理 X は m ≥ s について一様 Cm-正則で、P はHs(X) の元 u を ( u , d u d n , … , d k u d n k ) | G {\displaystyle \left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}} へ写す線型写像とする。ここで d/dn は G の法線方向への微分で、k は s より小さい最大の整数である。このとき Hs0 はちょうど P の核に等しい。 u ∈ Hs0 ならばその 0 による拡張 u~ ∈ L2(Rn) を自然な方法で定義することができる。つまり u ~ ( x ) := { u ( x ) ( x ∈ X ) 0 ( otherwise ) {\displaystyle {\tilde {u}}(x):={\begin{cases}u(x)&(x\in X)\\0&({\mbox{otherwise}})\end{cases}}} と定めればよい。 定理 s > 1/2とする。写像 H 0 s ( X ) ∋ u ↦ u ~ ∈ H s ( R n ) {\displaystyle H_{0}^{s}(X)\ni u\mapsto {\tilde {u}}\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n})} が連続となることの必要十分条件は s がどんな整数 n を選んでも n + 1/2 の形とはならないことである。
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