導出1：数学的アプローチ（CGS単位系）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:15 UTC 版)
「ラーモアの公式」の記事における「導出1：数学的アプローチ（CGS単位系）」の解説
まず、電場と磁場の形を求める必要がある。これらの場は次のように書ける（完全な導出についてはリエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルを参照）。 E ( r , t ) = q ( n − β γ 2 ( 1 − β ⋅ n ) 3 R 2 ) r e t + q c ( n × [ ( n − β ) × β ˙ ] ( 1 − β ⋅ n ) 3 R ) r e t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)=q\left({\frac {{\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\boldsymbol {n}}\times [({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}} および B = n × E {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {E}}} ここで β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} は電荷の速度を c {\displaystyle c} で割ったもの、 β ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}} は電荷の加速度を c {\displaystyle c} で割ったもの、 n {\displaystyle {\boldsymbol {n}}} は r − r 0 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}} 方向の単位ベクトル、 R {\displaystyle R} は r − r 0 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}} の絶対値、 r 0 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}} は電荷の位置、 γ = ( 1 − β 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}} であり、右辺の各項は遅延時間（英語版） t r = t − R / c {\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c} におけるものである。 右辺は、荷電粒子の速度に関係する項と加速度に関係する項の和になっている。速度に関係する場は β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} のみに依存する一方、加速度に関係する場は β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} と β ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}} 、およびそれらのなす角に依存している。速度に関係する場は 1 / R 2 {\displaystyle 1/R^{2}} に比例するため、距離が大きくなっていくとき急速に減少する。一方、加速度に関係する場は 1 / R {\displaystyle 1/R} に比例し、距離に関してはより緩慢にしか減少しない。これより、加速度に関係する項が放射場を代表し、電荷からのエネルギーの放出の大半を担う。 放射場のエネルギー流束密度は、ポインティング・ベクトル S = c 4 π E a × B a {\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {E}}_{\text{a}}\times {\boldsymbol {B}}_{\text{a}}} を計算することで求められる。ここで下付きの 'a' は、加速度の項のみをとっていることの強調である。電場と磁場の関係式を代入し、粒子は時刻 t r {\displaystyle t_{\text{r}}} の瞬間に静止しているとすると、数式は簡単化されて S = q 2 4 π c | n × ( n × β ˙ ) R | 2 n {\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}{\boldsymbol {n}}} となる。加速度の方向と観測方向のなす角を θ {\displaystyle \theta } とし、加速度の記号 a = β ˙ c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c} を導入すると、単位立体角当たりの放出されるエネルギーは d P d Ω = q 2 4 π c sin 2 ( θ ) a 2 c 2 {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}} となる。放射される単位時間当たりのエネルギーの総計はこの量を全立体角にわたって積分（つまり、 θ {\displaystyle \theta } と ϕ {\displaystyle \phi } について積分）すれば求まり、 P = 2 3 q 2 a 2 c 3 {\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}} となる。これが非相対論的な加速された電荷によるラーモアの結果であり、この式によって放射のエネルギーが粒子の加速度と結び付けられる。明らかに加速度が大きくなればなるほど放射も大きくなるが、これは放射場が加速度に依存することから予期されることである。
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