制限 (数学)
定義域の制限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 16:47 UTC 版)
「アローの不可能性定理」の記事における「定義域の制限」の解説
選好集計ルールの定義域、すなわち想定する選好を制限するアプローチとしては「単峰性」を仮定するものが有名である。 選択肢がある順序で左から右へと並んでいるとする。選好がこの順序に関して「単峰型である」とは、あるピークとなる選択肢が存在し、そのピークから左側に行くほど望ましくない選択肢に、またそのピークから右側に行くほど望ましくない選択肢になることである (横軸に選択肢を順序通り並べたとき、効用関数のグラフが一点だけピークを持つ)。与えられた選択肢の順序に関して全員の選好が単峰型であるようなプロファイルに定義域を限定すれば、多数決をはじめとする (「シンプル」と呼ばれる) 集計ルールは非循環的な (後述) 社会的選好を持つ。特に奇数人の多数決では社会的選好は推移的になり、「ベストな」選択肢は各個人のピークの中央値になる (Black の「中位投票者定理」。多次元の選択肢集合でも「単峰型である」選好を定義することはできるが、「中央値」にあたる選択肢が特定できるのは例外的ケースにすぎず、通常は McKelvey の「カオス定理」が示す破壊的な結果(すなわち任意の選択肢 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} について、 x {\displaystyle x} に x 1 {\displaystyle x_{1}} が多数決で勝ち、 x 1 {\displaystyle x_{1}} に x 2 {\displaystyle x_{2}} が多数決で勝ち、… 、 x k {\displaystyle x_{k}} に y {\displaystyle y} が多数決で勝つような選択肢の列を見つけることができる) になる。
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