安定写像コンパクト化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/29 06:10 UTC 版)
この写像のモジュライ空間は、曲線の列が特異な曲線へ退化することができるので、コンパクトではない。この特異な曲線は、ここで定義したモジュライ空間の中にはない。例えば、このことは、 f {\displaystyle f} のエネルギー（微分のL2-ノルムのこと）が、領域のある点に集中することを意味する。集中した点の周りで写像をりスケールすることでエネルギーを捉えることができる。この効果は、もとの領域の集中した点にバブルと呼ばれる球(sphere)を付けて、写像を球を横切るように拡張することになる。リスケールされた写像は、ひとつ以上の点にエネルギーを集中しているかもしれず、その場合は逐次的にリスケールせねばならない。結局、完全なバブルツリーを元の領域に貼り付け、新しい領域の各々の滑らかな成分の上で写像がうまく振る舞うようにすることができる。 詳細には、安定写像を最も悪いノード（二重結節点）として特異点を持つリーマン面の上の擬正則写像であるように定義すると、高々有限個の写像の自己同型となる。具体的には、次のことを意味する。ノードを持つリーマン面の滑らかな成分は、高々有限個のマークされた点とノードを保存する自己同型が存在するときに、安定という。すると安定写像は少なくとも一つは、安定な領域成分を持つ擬正則写像である。そして、各々の他の成分に対して、 写像がその成分の上で非コンパクトか、または 成分が安定である ということとなる。安定写像の領域が安定曲線を必要としないことは重要である。しかしながら、（その場合でも）不安定成分を（逐次的に）縮小して安定曲線を作り出すことが可能であり、このことを曲線 C {\displaystyle C} の安定化 s t ( C ) {\displaystyle \mathrm {st} (C)} という。 n {\displaystyle n} 個のマークされた点を持ち、種数が g {\displaystyle g} であるリーマン面からの安定写像の全体の集合は、次のモジュライ空間を形成する。 M ¯ g , n J , ν ( X , A ) . {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).} トポロジーは、次の条件であるときに限り、安定写像の列が収束することとして定義される。 列が、（安定な）領域が曲線のドリーニュ・マンフォードモジュライ空間（英語版） M ¯ g , n {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}} で収束する 列が、ノード（二重結節点）から離れたコンパクトな成分の上のどのような微分でも統一的に収束する 任意の点に集中するエネルギーが、極限的な写像の点についているバブルツリーのエネルギーに等しい 安定写像のモジュライ空間はコンパクトである。つまり、安定写像の任意の列が安定写像へ収束する。このことを示すために、逐次的に写像の列をリスケールする。逐一、新しい極限の領域が存在して、特異点を持ってもよいが、ひとつ前の逐次列よりも低いエネルギーの集中になっている。このステップで、シンプレクティック形式 ω {\displaystyle \omega } は決定的な方法で入ってくる。ホモロジー類 B {\displaystyle B} を表す任意の滑らかな写像のエネルギーは、シンプレクティック領域 ω ( B ) {\displaystyle \omega (B)} により下に有界である。 ω ( B ) ≤ 1 2 ∫ | d f | 2 , {\displaystyle \omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},} この式の等号は、写像が擬正則写像のとき、とのときに限り成立する。このことの意味は、リスケールの各々の逐次段階で現れるエネルギーを有界とするので、高々有限個のリスケールでエネルギーをすべて捉えることに必要とするだけである。結局、新しい極限領域での極限写像は安定となる。 コンパクト化された空間は再び、滑らかで向きづけられたオービフォールドである。非自明な自己同型を持つ写像はオービフォールドの中のイソトロピーを持つ点に対応する。
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