多重集合の演算と重複度函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 05:35 UTC 版)
「多重集合」の記事における「多重集合の演算と重複度函数」の解説
「指示函数」および「ファジィ集合」も参照 多重集合 (A, mA) に対し、台集合 A の部分集合 B を台集合とする多重集合 (B, mB) で B の各元 b の重複度について m B ( b ) ≤ m A ( b ) {\displaystyle m_{B}(b)\leq m_{A}(b)} が成り立つとき、多重集合 (B, mB) は多重集合 (A, mA) の部分多重集合であるといい、(B, mB) ⊂ (A, mA) で表す。 また、多重集合に対する和、差、積、対称差などの概念が、通常の集合に関する和、差、積、対称差などに従って定義される。例えば、多重集合 A, B の和 A ∪ B は包含関係 ⊂ を順序とする上限、積 A ∩ B は ⊂ に関する下限である。多重集合の演算は台集合に対しては通常の集合演算として作用するが、その元の重複度については多少の注意を要する。 集合の指示函数 χU: 全体集合, A ⊆ U χ A : U → 0 , 1 {\displaystyle \chi _{A}\colon U\to {0,1}} 交叉 χ A ∩ B = min { χ A , χ B } {\displaystyle \chi _{A\cap B}=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}} 合併 χ A ∪ B = max { χ A , χ B } {\displaystyle \chi _{A\cup B}=\max\{{\chi _{A},\chi _{B}}\}} 補集合 χ ∁ A = χ U − χ A {\displaystyle \chi _{\complement A}=\chi _{U}-\chi _{A}} 包含 A ⊆ B ⟺ χ A ≤ χ B {\displaystyle A\subseteq B\iff \chi _{A}\leq \chi _{B}} デカルト積 χ A × B = χ A ⋅ χ B {\displaystyle \chi _{A\times B}=\chi _{A}\cdot \chi _{B}} 濃度 | A | = ∑ x ∈ X χ A ( x ) {\displaystyle |A|=\sum _{x\in X}\chi _{A}(x)} 集合 X の（全ての元を各個に区別して）各元の重複度を 1 としたときの重複度関数は集合 X の指示関数である。有限集合の指示関数を数え上げ測度で積分したものは集合の基数をあたえるから、多重集合の元 a の重複度は、同じ値 a を持つ元を全てあわせた集合の指示関数の積分で得られる。指示関数が集合を定義するのと同様に、多重集合は重複度関数によって定義されると考えることができる（指示函数を「集合の定義函数」と呼ぶことがあるのと同様に、重複度函数を「多重集合の定義函数」と呼ぶことがある）。特に、多重集合の和、積、対称差などの重複度関数は、集合の指示関数が満たすのと同様の算術 m A ∩ B ( x ) = min { m A ( x ) , m B ( x ) } ( =: ( m A ∧ m B ) ( x ) ) , {\displaystyle m_{A\cap B}(x)=\min\{m_{A}(x),m_{B}(x)\}(=:(m_{A}\wedge m_{B})(x)),} m A ∪ B ( x ) = max { m A ( x ) , m B ( x ) } ( =: ( m A ∨ m B ) ( x ) ) , {\displaystyle m_{A\cup B}(x)=\max\{m_{A}(x),m_{B}(x)\}(=:(m_{A}\vee m_{B})(x)),} m A △ B ( x ) = | m A ( x ) − m B ( x ) | {\displaystyle m_{A\triangle B}(x)=|m_{A}(x)-m_{B}(x)|} に従う。また重複度函数の和 mA + mB を重複度函数に持つ多重集合を A と B との結合 (join) あるいは直和（非交和、sum）と呼び A ⊔ B , A ⊎ B {\displaystyle A\sqcup B,A\uplus B} などで表す（非交和と呼ぶことがあるにもかかわらず、台集合として A ∩ B = ∅ であることは必要でないことに注意。これは台集合の交わりに属する元であっても、それらはその重複度のために、何れの台集合に由来する元であるかの区別を受けるためである）。すなわち m A ⊔ B ( x ) = m A ( x ) + m B ( x ) {\displaystyle m_{A\sqcup B}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)} が成り立つ。特に台集合が交わりを持たないときは m A ⊔ B ( x ) = max { m A ( x ) , m B ( x ) } = { m A ( x ) ( x ∈ A ) m B ( x ) ( x ∈ B ) {\displaystyle m_{A\sqcup B}(x)=\max\{m_{A}(x),m_{B}(x)\}={\begin{cases}m_{A}(x)&(x\in A)\\m_{B}(x)&(x\in B)\end{cases}}} と書ける。
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