単純な対称性関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:26 UTC 版)
「パリティ (物理学)」の記事における「単純な対称性関係」の解説
古典的幾何学的対象は、回転に対する高階のスカラー、ベクトルおよびテンソルへと分類することができる。古典物理学では、物理的配置は各対称群の表現の下で変換する必要がある。 量子力学は、ヒルベルト空間中の状態は回転群の表現の下での変換を必要とせず射影表現（英語版）だけを必要とすると予測している。射影という語は、各状態の位相を射影すると、ある量子状態の全体の位相はオブザーバブルでないことから、射影表現は通常の表現へ帰着するという事実を言及する。全ての表現は射影表現でもあるが、逆は真ではない、それゆえ量子状態の射影表現条件は古典状態の表現条件よりも弱い。 あらゆる群の射影表現は、群の中心拡大の通常の表現と同型である。例えば、3次元回転群の射影表現、つまり特殊直交群 SO(3) は特殊ユニタリ群 SU(2) の通常の表現である。表現ではない回転群の射影表現はスピノルと呼ばれ、量子状態はテンソルとしてだけではなくスピノルとして変換を行う。 これにパリティによる分類を加えると、これらは例えば次の概念に拡張できる、 スカラー (P = 1) および 擬スカラー (P = −1) は回転不変である。 ベクトル (P = −1) および 軸性ベクトル（擬ベクトルとも呼ばれる） (P = 1) はともに回転の下でベクトルとして変換する。 ここで、以下のような鏡映を定義することができる V x : ( x y z ) ↦ ( − x y z ) , {\displaystyle V_{x}:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}},} これはまた負の行列式を持ち、妥当なパリティ変換を形成する。次に、それらの回転を実行し（または連続的にx、y、およびz軸に対する鏡映を実行し）、先に定義した特定のパリティ変換を得ることができる。しかし、次元数が偶数の場合には行列式が正になるため、最初に定義されたパリティ変換は機能しない。次元数が奇数の場合、後者のパリティ変換の例（または座標の奇数の鏡映）だけが用いられる。 パリティは、P2 = 1の関係によって、アーベル群 Z2を形成する。全てのアーベル群は一次元の既約表現だけを持つ。Z2については、二つの既約表現が存在する。一つはパリティの下で奇数 (Pφ = φ) 、もう一つは偶数 (Pφ = −φ) である。これらは量子力学において有用である。しかしながら、以下に詳しく述べられているように、量子力学において、状態はパリティの実際の表現の下での変換を必要とせず、ただ射影表現の下での変換が必要となる。そして、原理的にはパリティ変換はあらゆる位相によって状態を回転する。
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