単数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/09 03:44 UTC 版)
有理整数は単数を2つ 1 と −1 しか持たない。他の整数環では他の単数があるかもしれない。ガウスの整数環は4つの単数、前の2つと ±i を持つ。アイゼンシュタイン整数環 Z[exp(2πi / 3)] は6つの単数を持つ。実二次体の整数環は無限個の単数を持つ。例えば Z[√3] では、2 + √3 の任意の冪は単数であり、これらの冪はすべて相異なる。 一般に、O の単数群 O× は、有限生成アーベル群である。したがって、有限生成アーベル群の基本定理より、それは捩れ部分と自由部分の直和である。数体の文脈でこれを再解釈すると、捩れ部分は O に属する1の冪根全体からなる。この群は巡回群である。自由部分はディリクレの単数定理によって記述される。この定理は自由部分の階数が r1 + r2 − 1 であるというものである。したがって例えば、自由部分の階数が 0 である体は、Q と虚二次体しかない。K/Q のガロワ群に対するガロワ加群としての O× ⊗Z Q の構造を与えるより正確な主張も可能である。 単数群の自由部分は K の無限素点を用いて研究できる。次の写像を考える： L : K × → R r 1 + r 2 , L ( x ) = ( log | x | v ) v , {\displaystyle L\colon K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}},\;L(x)=(\log |x|_{v})_{v},} ただし v は K の無限素点を渡り、|·|v は v に付随する絶対値である。写像 L は K× から実ベクトル空間への準同型である。O× の像は x 1 + ⋯ + x r 1 + r 2 = 0 {\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0} によって定義された超平面を張る格子であることを示すことができる。この格子の余体積は数体の単数基準である。アデール環を用いて考えることで可能になる簡素化の1つは、この格子による商とイデアル類群をともに記述する単一の対象イデール類群が存在することである。
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単数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
代数体 K に対し、K の元 ε で生成される単項イデアル (ε) が I K {\displaystyle I_{K}} と等しいとき、ε は、K の単数 (unit)であるという。同値な定義として、 ε および ε − 1 {\displaystyle \varepsilon ^{-1}} が共に I K {\displaystyle I_{K}} の元であるとき、ε は単数である。
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