単位円上のハーディ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「単位円上のハーディ空間」の解説
前節で定義されたハーディ空間は、単位円上の複素 Lp 空間の閉線型部分空間と見なすことも出来る。この関係は、以下の定理によって示される(Katznelson 1976, Thm 3.8)：p ≥ 0 に対し f ∈ Hp が与えられるとき、半径に関する極限 f ~ ( e i θ ) = lim r → 1 f ( r e i θ ) {\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)} はほとんど全ての θ に対して存在する。この関数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は単位円に対する Lp 空間に属し、次が成立する。 ‖ f ~ ‖ L p = ‖ f ‖ H p . {\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.} 単位円を T と表し、全ての極限函数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} からなる Lp(T) の線型部分空間を Hp(T) と表す。f が Hp 内で変化するとき、p ≥ 1 に対して次が成り立つ (Katznelson 1976)。 g ∈ H p ( T ) if and only if g ∈ L p ( T ) and g ^ ( n ) = 0 for all n < 0. {\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0.} ただし ĝ(n) は単位円上で可積分な函数 g のフーリエ係数であり、次が成り立つ。 ∀ n ∈ Z , g ^ ( n ) = 1 2 π ∫ 0 2 π g ( e i ϕ ) e − i n ϕ d ϕ . {\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .} 空間 Hp(T) は Lp(T) の閉部分空間である。1 ≤ p ≤ ∞ に対して Lp(T) はバナッハ空間であるため、Hp(T) もまた同様にバナッハ空間となる。 上述の議論は逆も成り立つ。p ≥ 1 に対して函数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} ∈ Lp(T) が与えられるとき、ポアソン核 Pr を用いて単位円板上の正則函数 f を次のように再構成することが出来る： f ( r e i θ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π P r ( θ − ϕ ) f ~ ( e i ϕ ) d ϕ , r < 1. {\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1.} そして f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} が Hp(T) に属しているなら、f は Hp に属す。 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は Hp(T) 内にある、すなわち f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は、全ての n < 0 に対して an = 0 を満たすフーリエ係数 (an)n∈Z を持つと仮定する。このとき、 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} と関連するハーディ空間 Hp の元 f は、次の正則函数である。 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n , | z | < 1. {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.} 応用の場面では、これら負のフーリエ係数が消失している函数は通常、因果解（causal solution）と解釈される。したがって空間 H2 は自然に L2 空間の内側にあり、N によって添え字付けられる無限列として表される。一方、L2 は Z によって添え字付けられる両側無限列（bi-infinite sequence）から構成される。
※この「単位円上のハーディ空間」の解説は、「ハーディ空間」の解説の一部です。
「単位円上のハーディ空間」を含む「ハーディ空間」の記事については、「ハーディ空間」の概要を参照ください。
- 単位円上のハーディ空間のページへのリンク
