単位円板に対するハーディ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「単位円板に対するハーディ空間」の解説
開単位円板上の正則函数の空間に対し、ハーディ空間 H2 は、半径 r の円周上の平均二乗値が r → 1 に下から近づいた時に有界となるような函数から構成される空間となる。 より一般に、0 < p < ∞ に対するハーディ空間 Hp は、次を満たす開単位円板上の正則函数 f のクラスとなる： sup 0 < r < 1 ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | p d θ ) 1 / p < ∞ . {\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{1/p}<\infty .} このクラス Hp はベクトル空間である。この不等式の左辺の数は、f に対するハーディ空間の p-ノルムであり、 ‖ f ‖ H p {\displaystyle \|f\|_{H^{p}}} と記述される。これは p ≥ 1 のときはノルムであるが、0 < p < 1 のときはノルムとならない。 H∞ は円板上の有界正則函数からなるベクトル空間として定義され、そのノルムは ‖ f ‖ H ∞ := sup | z | < 1 | f ( z ) | {\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}:=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|} となる。0 < p ≤ q ≤ ∞ に対し、クラス Hq は Hp の部分集合であり、Hp-ノルムは p について増加である（これは Lp-ノルムが確率測度、すなわち総質量が 1 である測度に対して増加であるというヘルダーの不等式による）。
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