単位円板内の劣調和函数と動径方向最大値函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/24 13:49 UTC 版)
「劣調和函数」の記事における「単位円板内の劣調和函数と動径方向最大値函数」の解説
複素数平面における閉単位円板 D(0, 1) を含む開集合 Ω 上で定義された劣調和非負連続函数 φ を考える。φ（を単位円板に制限したもの）の動径方向最大値函数（radial maximal function）とは、 ( M φ ) ( e i θ ) = sup 0 ≤ r < 1 φ ( r e i θ ) {\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\,\varphi (re^{i\theta })} 0 ≤ φ ( r e i θ ) ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π P r ( θ − t ) φ ( e i t ) d t , ( r < 1 ) {\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -t)\varphi (e^{it})dt,\quad (r<1)} φ ∗ ( e i θ ) = sup 0 < α ≤ π 1 2 α ∫ θ − α θ + α φ ( e i t ) d t {\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi (e^{it})dt} ∥ M φ ∥ L 2 ( T ) 2 ≤ C 2 ∫ 0 2 π φ ( e i θ ) 2 d θ {\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbb {T} )}^{2}\leq C^{2}\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}d\theta } ∫ 0 2 π ( sup 0 ≤ r < 1 | F ( r e i θ ) | ) p d θ ≤ C 2 sup 0 ≤ r < 1 ∫ 0 2 π | F ( r e i θ ) | p d θ . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}|F(re^{i\theta })|\right)^{p}d\theta \,\leq \,C^{2}\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }|F(re^{i\theta })|^{p}d\theta .} さらに考察することで、F は動径方向に沿った極限 F(eiθ) を単位円上のほとんど至る所で持ち、（優収束定理より）Fr(eiθ) = F(reiθ) で定義される Fr は Lp(T) において F に収束する。
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