単位円上の実変数の手法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「単位円上の実変数の手法」の解説
Rn 上で定義される「実ハーディ空間」（後述）の研究と主に関連する実変数の手法もまた、単位円に関するより簡単な枠組みにおいて用いられる。その手法は、それら「実」空間における複素函数（あるいは超函数）に対する実践的なものである。以下の定義では、実数および複素数の場合を区別しない。 Pr を単位円 T 上のポアソン核とする。単位円上の超函数 f に対して、次を定める。 ( M f ) ( e i θ ) = sup 0 < r < 1 | ( f ∗ P r ) ( e i θ ) | . {\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|.} ここで「スター」の記号は、単位円上での超函数 f と函数 eiθ → Pr(θ) の畳み込みを表す。すなわち、(f ∗ Pr)(eiθ) は、単位円上で e i φ → P r ( θ − φ ) {\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi )} と定義される C∞-函数についての f の作用の結果である。0 < p < ∞ に対し、実ハーディ空間 Hp(T) は M f が Lp(T) に属するような超函数 f より構成される。 単位円上で F(reiθ) = (f ∗ Pr)(eiθ) で定義される函数 F は調和的であり、M f は F の半径極大函数（radial maximal function）である。M f が Lp(T) に属し、p ≥ 1 であるとき、超函数 f は Lp(T) の函数、すなわち、F の境界値である。p ≥ 1 に対し、実ハーディ空間 Hp(T) は Lp(T) の部分空間である。
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