単位円上のソボレフ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
「ソボレフ空間」の記事における「単位円上のソボレフ空間」の解説
まずは単位円 T 上で定義される 1-次元（1-変数函数）の場合という最も単純な設定でソボレフ空間を導入することから始める。この場合のソボレフ空間 Wk,p は Lp-空間の部分集合であって、p ≥ 1 が与えられたとき函数 f とその弱微分が階数 k まで有限な Lp-ノルムを持つ函数 f の全体からなるものとして定義される。場合によっては微分を通常の強い意味での微分として扱うこともある。1-次元の問題においてはf の (k−1)-階導函数 f(k-1) が殆ど至る所微分可能で、その導函数のルベーグ積分と殆ど至る所一致することを仮定すれば十分である（これによりソボレフ空間の定義の狙いとは無関係なカントール函数のような例を除くことができる）。 この定義からソボレフ空間には自然なノルム ‖ f ‖ k , p := ( ∑ i = 0 k ‖ f ( i ) ‖ p p ) 1 / p = ( ∑ i = 0 k ∫ T | f ( i ) ( t ) | p d t ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{k,p}:=\left(\sum _{i=0}^{k}\|f^{(i)}\|_{p}^{p}\right)^{\!\!1/p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int _{\mathbb {T} }|f^{(i)}(t)|^{p}\,dt\right)^{\!\!1/p}} を入れることができて、空間 Wk,p はこのノルム ‖•‖k,p に関してバナッハ空間となる。このノルムは、函数列の最初と最後だけ見れば十分である。つまり、ノルムを ‖ f ( k ) ‖ p + ‖ f ‖ p {\displaystyle \|f^{(k)}\|_{p}+\|f\|_{p}} で定義しても上と同値なノルムとなる（どちらのノルムが定める距離位相も同じ）。
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