値の分布

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値の分布

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 01:57 UTC 版)

「整関数」の記事における「値の分布」の解説

整函数の値の分布に関して最も深い結果はピカールの小定理で、「定数でない整函数は高々一つの例外値を除いてすべての複素数を値としてとる」ことを述べる（このとき、とらない値が存在すればそれを「ピカールの例外値」と称する）。より精確な結果は（先述の数を与えられた複素数の絶対値で上から抑えることにより）函数の増大度に依存する。 非整数増大度の場合 増大度が整数でない場合は、ピカールの小定理における例外値を持つことはできない。すなわち、そのような整函数は x の値に依らずに方程式 f(s) = x が無限個の解を持つ。特に、 増大度が整数でない任意の整函数は無限個の零点を許す。 整数増大度の場合 増大度が整数の場合には、ピカールの例外値が存在しうる。そのような場合の詳細はエミール・ボレルにより 方程式 f(s) = x の絶対値が r より小さい根の数 n(x, r) は x の高々一つの値を例外として ln M(r) の大きさより小さい増大度を持つ。 零点が有限個かつ多項式に還元できない整数増大度の整函数が存在することが示せるが、そのような場合は増大度が奇数の偶整函数に対しては起こらない。（校正意見：この最後の文は数学的論理がおかしい。） 整函数と角 命題 増大度 ρ > 1/2 の整函数は π(2 − 1/ρ) より大きい角度を持つ任意の角において増大度 ρ である。 フランスの数学者 Milloux は1924年に受理された修士論文において、「充填円」(cercles de remplissages) と呼ばれる特定の円を定義した。それは以下のような形で述べられる: 定理 (Milloux) f(z) は整函数、1 > ε >0 は望むだけ小さいとして、 A ( r ) = ( ln ⁡ M ( r ) ) 1 − ϵ {\textstyle A(r)=(\ln M(r))^{1-\epsilon }} および q ( r ) = ϵ 6 ln ⁡ ln ⁡ M ( r ) {\textstyle q(r)={\frac {\epsilon }{6}}\ln \ln M(r)} と置く。ここで r は十分大きく ln ⁡ ln ⁡ M ( r ) > 343 / ε {\textstyle \ln \ln M(r)>343/\varepsilon } が成立するようにとると、f(z) は以下の二つの性質のうち一つを満足する: 中央円周が |z| = r の幅 πr/q(r) の球冠において、不等式 ln ⁡ | f ( z ) | > A ( r ) {\textstyle \ln |f(z)|>A(r)} が成り立つ; 中心が円周 |z| = r 上にある半径 8πr/q(r) の円（これを充填円と呼ぶ）が少なくとも一つ存在して、その円上で函数 f(z) は絶対値 A(r) 以下の値を一つの値 a(r) の近傍を除いて全てとる。この近傍は a(r) を中心とする半径 2/A(r) の円に含まれる。 この充填円は方程式 f(z) = a の解の決定に有用である。