乗数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:30 UTC 版)
リース変換はフーリエ乗数（英語版）として与えられる。実際、Rjƒ のフーリエ変換は次で与えられる。 F ( R j f ) ( x ) = i x j | x | ( F f ) ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x)} （ここでフーリエ変換の正規化に依存するすべての正定数の違いは除く）。この形式により、リース変換はヒルベルト変換の一般化と見なすことが出来る。この核は、次数ゼロの斉次な超函数である。このことから、特に重要な帰結として、リース変換は L2(Rd) からそれ自身への有界線型作用素を定義することが分かる。 この斉次性はフーリエ変換に頼らずともより直接的に述べることが出来る。σs を、スカラー s による Rd 上の伸張（英語版）、すなわち σsx = sx を満たすものとするとき、その σs は引き戻し（英語版）を介した函数上の次の作用を定義する： σ s ∗ f = f ∘ σ s . {\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.} リース変換は、この σs と可換である。すなわち σ s ∗ ( R j f ) = R j ( σ x ∗ f ) {\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f)} となる。同様に、リース変換は平行移動と可換となる。今 τa をベクトル a に沿った Rd 上の平行移動とする。すなわち、τa(x) = x + a が満たされるものとする。このとき τ a ∗ ( R j f ) = R j ( τ a ∗ f ) {\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f)} となる。 最後の性質を述べる上で、リース変換を単独のベクトル成分 Rƒ = (R1ƒ,…,Rdƒ) として見なすことが有用となる。Rd 内の回転 ρ を考える。この回転は空間変数の上で作用するため、引き戻しを介した函数の上で作用する。しかしそれはまた、空間ベクトル Rƒ の上でも作用する。最後の性質は、リース変換はそれら二つの作用に関して同変（英語版）であるということである。すなわち ρ ∗ R j [ ( ρ − 1 ) ∗ f ] = ∑ k = 1 d ρ j k R k f {\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f} が成立する。 以上の三つの性質は、実際次の意味でリース変換を特徴付けるものである。T=(T1,…,Td) を L2(Rd) から L2(Rd) への有界線型作用素の d-タプルで、次を満たすものとする。 T はすべての伸張および平行移動と可換である。 T は回転に関して同変である。 このとき、ある定数 c に対して T = cR が成り立つ。
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