不等式の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/10 21:05 UTC 版)
「フリードリヒの不等式」の記事における「不等式の内容」の解説
Ω はユークリッド空間 Rn の有界部分集合で、その径は d とする。u : Ω → R はソボレフ空間 に属するものとする（すなわち、u は Wk,p(Ω) に属し、そのトレースはゼロ）。このとき、次が成り立つ。 この評価式において はLp ノルムを表す； α = (α1, ..., αn) は多重指数で、そのノルムは |α| = α1 + ... + αn である； Dαu は次の混合偏導函数である。
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不等式の内容
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/29 02:48 UTC 版)
「ゴルディングの不等式」の記事における「不等式の内容」の解説
Ω を n-次元ユークリッド空間内の有界な開領域とし、Hk(Ω) を k-階弱微分可能で弱微分が L2 に属するような函数 u : Ω → R のソボレフ空間とする。Ω は k-拡張性を満たす、すなわち、ある有界線型作用素 E : Hk(Ω) → Hk(Rn) が存在して Hk(Ω) 内のすべての u に対して (Eu)|Ω = u が成立するものとする。 L を偶数次 2k の線型偏微分作用素で、次の発散形式で表されるものとする： ( L u ) ( x ) = ∑ 0 ≤ | α | , | β | ≤ k ( − 1 ) | α | D α ( A α β ( x ) D β u ( x ) ) . {\displaystyle (Lu)(x)=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\mathrm {D} ^{\alpha }\left(A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\beta }u(x)\right).} さらに L は一様楕円型、すなわちある定数 θ > 0 が存在して次が成り立つとする。 ∑ | α | , | β | = k ξ α A α β ( x ) ξ β > θ | ξ | 2 k for all x ∈ Ω , ξ ∈ R n ∖ { 0 } . {\displaystyle \sum _{|\alpha |,|\beta |=k}\xi ^{\alpha }A_{\alpha \beta }(x)\xi ^{\beta }>\theta |\xi |^{2k}{\mbox{ for all }}x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}.} 最後に、係数 Aαβ は |α| = |β| = k に対して、Ω の閉包上で有界かつ連続連続とし、次が成り立つとする。 A α β ∈ L ∞ ( Ω ) for all | α | , | β | ≤ k . {\displaystyle A_{\alpha \beta }\in L^{\infty }(\Omega ){\mbox{ for all }}|\alpha |,|\beta |\leq k.} このとき、ゴルディングの不等式が次のように成り立つ：定数 C > 0 と G ≥ 0 が存在して B [ u , u ] + G ‖ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≥ C ‖ u ‖ H k ( Ω ) 2 for all u ∈ H 0 k ( Ω ) {\displaystyle B[u,u]+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{k}(\Omega )} となる。ここに B [ v , u ] = ∑ 0 ≤ | α | , | β | ≤ k ∫ Ω A α β ( x ) D α u ( x ) D β v ( x ) d x {\displaystyle B[v,u]=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x} は作用素 L に関連する双線型形式である。
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