不等式の左辺が0になる関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 08:40 UTC 版)
「不確定性原理」の記事における「不等式の左辺が0になる関数」の解説
しかし ψ 0 ( x ) := 1 2 e x p ( i π x ) {\displaystyle \psi _{0}(x):={1 \over {\sqrt {2}}}\mathrm {exp} (i\pi x)} とすると、ロバートソンの不等式の左辺が0になる事を示すことができる。 なぜなら、 ‖ ψ 0 ‖ 2 = 1 2 ∫ [ − 1 , 1 ] e x p ( i π x ) ¯ e x p ( i π x ) d x = 1 2 ∫ [ − 1 , 1 ] d x = 1 {\displaystyle \|\psi _{0}\|^{2}={\frac {1}{2}}\int _{[-1,1]}{\overline {\mathrm {exp} (i\pi x)}}\mathrm {exp} (i\pi x)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{[-1,1]}\mathrm {d} x=1} P ^ ′ ψ 0 ( x ) := − i ℏ d d x e x p ( i π x ) = ℏ π ψ 0 ( x ) {\displaystyle {\hat {P}}'\psi _{0}(x):=-i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\mathrm {exp} (i\pi x)=\hbar \pi \psi _{0}(x)} よりψ0は P ^ ′ {\displaystyle {\hat {P}}'} の長さ1の固有関数であるので、 Δ ψ 0 P ^ ′ {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {P}}'} は0になる： Δ ψ 0 P ^ ′ = ‖ P ^ ′ ψ 0 − ⟨ ψ 0 , P ^ ′ ψ 0 ⟩ ψ 0 ‖ {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {P}}'=\|{\hat {P}}'\psi _{0}-\langle \psi _{0},{\hat {P}}'\psi _{0}\rangle \psi _{0}\|} = ‖ i π ψ 0 − i π ⟨ ψ 0 , ψ 0 ⟩ ψ 0 ‖ = 0 {\displaystyle =\|i\pi \psi _{0}-i\pi \langle \psi _{0},\psi _{0}\rangle \psi _{0}\|=0} 一方明らかに Δ ψ 0 Q ^ ′ < ∞ {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {Q}}'<\infty } なので、 Δ ψ 0 P ^ ′ Δ ψ 0 Q ^ ′ = 0 {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {P}}'\Delta _{\psi _{0}}{\hat {Q}}'=0}
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