不等式の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 09:08 UTC 版)
r = 0 のとき、 ( 1 + x ) 0 ≥ 1 + 0 x {\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x\,} となり、これは 1 ≥ 1 なので与式は成立する。 次に、r = k の場合に与式が成立すると仮定する。 ( 1 + x ) k ≥ 1 + k x . {\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx.\,} この両辺に ( 1 + x ) をかければ、( 1 + x ) ≥ 0 なので ( 1 + x ) ( 1 + x ) k ≥ ( 1 + x ) ( 1 + k x ) ⟺ ( 1 + x ) k + 1 ≥ 1 + k x + x + k x 2 ⟺ ( 1 + x ) k + 1 ≥ 1 + ( k + 1 ) x + k x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad (1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)\quad \\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^{2}.\end{aligned}}} となる。右辺 = 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x である（kx2 ≥ 0 なので）。したがって、 (1 + x)k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x となり、 r = k + 1 の場合でも与式が成立することが示され、数学的帰納法により全ての rに対して成立することが示された。
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