グロンウォールの不等式の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 00:43 UTC 版)
「グロンウォールの不等式」の記事における「グロンウォールの不等式の証明」の解説
任意の自然数 n に対し、主張 2 により、主張 1 に現れる残部に対して | R n ( t ) | ≤ ( μ ( I a , t ) ) n n ! ∫ [ a , t ) | u ( s ) | μ ( d s ) , t ∈ I {\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I} が成立することが分かる。今、測度 μ は区間 I 上で局所有限であるため、μ(Ia, t) < ∞ である。したがって、関数 u の積分可能性に関する仮定により lim n → ∞ R n ( t ) = 0 , t ∈ I {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I} が得られる。主張 2 および指数関数の級数展開により、評価 ∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k ( A k ( s , t ) ) ≤ ∑ k = 0 n − 1 ( μ ( I s , t ) ) k k ! ≤ exp ( μ ( I s , t ) ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}} が、区間 I に含まれるすべての s < t に対して得られる。もし関数 α が非負であるなら、これらの結果を主張 1 に代入することにより、関数 u についての求めるグロンウォールの不等式の変形版が得られる。 関数 t → μ([a, t]) が区間 I に含まれる t について連続である場合、主張 2 により ∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k ( A k ( s , t ) ) = ∑ k = 0 n − 1 ( μ ( I s , t ) ) k k ! → exp ( μ ( I s , t ) ) as n → ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty } が得られ、したがって関数 α の積分可能性により、ルベーグの優収束定理を用いることで求める不等式が得られる。
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