グロンウォールの不等式

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グロンウォールの不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 08:35 UTC 版)

数学の分野におけるグロンウォールの不等式（ぐろんうぉーるのふとうしき、英: Gronwall's inequality）は、ある微分不等式あるいは積分不等式をみたす関数を、対応する微分方程式あるいは積分方程式の解によって評価する結果として得られる不等式のことである。微分型のものと積分型のものの二種類が存在し、後者にはいくつかの変形版が存在する。

グロンウォールの不等式は、常微分方程式および確率微分方程式の理論において、様々な解の評価を得るために用いられる。特に、初期値問題の解の一意性を証明する際によく用いられる（例えばピカール＝リンデレーフの定理を参照されたい）。

この不等式は、スウェーデンの数学者であるグロンウォール (1877–1932) の名にちなむ。スウェーデン語での彼の名前の表記は「Grönwall」であるが、アメリカ合衆国に異動したのちの彼の出版物においては「Gronwall」の表記が用いられている。

この不等式の微分型に関する証明は、1919年にグロンウォールによって行われた。積分型に関する証明は、1943年に応用数学者のリチャード・E・ベルマンによって行われた。

グロンウォールの不等式の非線形系への一般化は、ビハリの不等式として知られている。

微分型

実数 a < b に対し、[a, ∞) か [a, b] あるいは [a, b) のいずれかの形をとる実軸上の区間を I で表す。β および u を、区間 I 上で定義される実数値連続関数とする。もし関数 u が区間 I の内部 I ^o で微分可能であり、微分不等式

$u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ }$ この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。