主張1 の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/13 00:43 UTC 版)
「グロンウォールの不等式」の記事における「主張1 の証明」の解説
数学的帰納法を用いる。n = 0 の場合、空和がゼロであることにより、これはそのまま仮定で現れた積分不等式となる。 n での成立を仮定したときの、n + 1 の場合について考える: 関数 u に関する仮定で現れた積分不等式を残部に代入することにより R n ( t ) ≤ ∫ [ a , t ) α ( s ) μ ⊗ n ( A n ( s , t ) ) μ ( d s ) + R ~ n ( t ) {\displaystyle R_{n}(t)\leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{\tilde {R}}_{n}(t)} を得る。ここで R ~ n ( t ) := ∫ [ a , t ) ( ∫ [ a , q ) u ( s ) μ ( d s ) ) μ ⊗ n ( A n ( q , t ) ) μ ( d q ) , t ∈ I {\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t):=\int _{[a,t)}{\biggl (}\int _{[a,q)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t\in I} とする。フビニ・トネリの定理を二つの積分の交換のために用いることで、 R ~ n ( t ) = ∫ [ a , t ) u ( s ) ∫ ( s , t ) μ ⊗ n ( A n ( q , t ) ) μ ( d q ) ⏟ = μ ⊗ n + 1 ( A n + 1 ( s , t ) ) μ ( d s ) = R n + 1 ( t ) , t ∈ I {\displaystyle {\tilde {R}}_{n}(t)=\int _{[a,t)}u(s)\underbrace {\int _{(s,t)}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\otimes n+1}(A_{n+1}(s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I} を得る。したがって主張1 は n + 1 についても成立する。
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