主張2 の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 00:43 UTC 版)
「グロンウォールの不等式」の記事における「主張2 の証明」の解説
n = 0 の場合、定義により主張は成立する。したがって以下では n ≥ 1 の場合を考える。 Sn を {1, 2, ..., n} に含まれる元のすべての組み合わせからなる集合とする。Sn に含まれる任意の組み合わせ σ に対し、 A n , σ ( s , t ) = { ( s 1 , … , s n ) ∈ I s , t n ∣ s σ ( 1 ) < s σ ( 2 ) < ⋯ < s σ ( n ) } {\displaystyle A_{n,\sigma }(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{\sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}} を定義する。異なる組み合わせに対するそれらの集合は互いに素となり、 ⋃ σ ∈ S n A n , σ ( s , t ) ⊂ I s , t n {\displaystyle \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\subset I_{s,t}^{n}} が成立する。したがって ∑ σ ∈ S n μ ⊗ n ( A n , σ ( s , t ) ) ≤ μ ⊗ n ( I s , t n ) = ( μ ( I s , t ) ) n {\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\mu ^{\otimes n}(A_{n,\sigma }(s,t))\leq \mu ^{\otimes n}{\bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}} が成立する。測度 μ の n-重積に関して、それらはすべて等しい測度を持ち、集合 Sn には n! 個の組み合わせが含まれていることにより、主張されている不等式が成立する。 今、関数 t → μ([a,t]) が区間 I に含まれる t について連続であると仮定する。このとき、{1,2,...,n} に含まれる異なる添え字i および j に対して、集合 { ( s 1 , … , s n ) ∈ I s , t n ∣ s i = s j } {\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}} は超平面に含まれ、したがってフビニの定理を応用することにより、その μ の n-重積に関する測度はゼロとなる。 I s , t n ⊂ ⋃ σ ∈ S n A n , σ ( s , t ) ∪ ⋃ 1 ≤ i < j ≤ n { ( s 1 , … , s n ) ∈ I s , t n ∣ s i = s j } {\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}} であることにより、主張の不等式は成立する。
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