主張1: 不等式の反復
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 00:43 UTC 版)
「グロンウォールの不等式」の記事における「主張1: 不等式の反復」の解説
ゼロを含む任意の自然数 n に対して u ( t ) ≤ α ( t ) + ∫ [ a , t ) α ( s ) ∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k ( A k ( s , t ) ) μ ( d s ) + R n ( t ) {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)} が成立する。ここで残部は R n ( t ) := ∫ [ a , t ) u ( s ) μ ⊗ n ( A n ( s , t ) ) μ ( d s ) , t ∈ I {\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I} とし A n ( s , t ) = { ( s 1 , … , s n ) ∈ I s , t n ∣ s 1 < s 2 < ⋯ < s n } , n ≥ 1 {\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1} は n-次元単体とし μ ⊗ 0 ( A 0 ( s , t ) ) := 1 {\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1} としている。
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