不確定性原理
ロバートソンの不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 08:40 UTC 版)
「不確定性原理」の記事における「ロバートソンの不等式」の解説
A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} を状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のオブザーバブルとし、 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} が ψ ∈ D o m ( A ^ ) ∩ D o m ( B ^ ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})\cap \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} 、 B ^ ψ ∈ D o m ( A ^ ) {\displaystyle {\hat {B}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})} 、 A ^ ψ ∈ D o m ( B ^ ) {\displaystyle {\hat {A}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} を満たしているとする。このとき、 [ A ^ , B ^ ] ψ := A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi :={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi } が定義可能であり、以下の不等式（ロバートソンの不等式）が成立するH13(p241,242)： ( Δ ψ A ^ ) 2 ( Δ ψ B ^ ) 2 ≥ 1 4 | ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ψ | 2 {\displaystyle (\Delta _{\psi }{\hat {A}})^{2}(\Delta _{\psi }{\hat {B}})^{2}\geq {\frac {1}{4}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle _{\psi }\right|^{2}} 証明は後述する。
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