テンソルの縮約
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/19 10:45 UTC 版)
詳細は「テンソル縮約」を参照 二項積を基本ベクトルで展開してベクトルの併置を点乗積に置き換えれば、蹟 (spur) あるいは展開因子 (expansion factor) が得られる。 | A | = A 11 i ⋅ i + A 12 i ⋅ j + A 13 i ⋅ k + A 21 j ⋅ i + A 22 j ⋅ j + A 23 j ⋅ k + A 31 k ⋅ i + A 32 k ⋅ j + A 33 k ⋅ k = A 11 + A 22 + A 33 . {\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&=\quad A_{11}\,\mathbf {i\cdot i} +A_{12}\,\mathbf {i\cdot j} +A_{13}\,\mathbf {i\cdot k} \\&\quad +A_{21}\,\mathbf {j\cdot i} +A_{22}\,\mathbf {j\cdot j} +A_{23}\,\mathbf {j\cdot k} \\&\quad +A_{31}\mathbf {k\cdot i} +A_{32}\mathbf {k\cdot j} +A_{33}\mathbf {k\cdot k} \\&=A_{11}+A_{22}+A_{33}.\end{aligned}}} この二項積の縮約をアインシュタインの和の規約に従って添字記法で書けば | A | = A i i . {\displaystyle |\mathbf {A} |=A_{i}{}^{i}.} また三次元の場合に限られるが、併置をクロス積（交叉積）で置き換えれば回転因子 (rotation factor) が得られる: ⟨ A ⟩ = A 11 i × i + A 12 i × j + A 31 i × k + A 21 j × i + A 22 j × j + A 23 j × k + A 31 k × i + A 32 k × j + A 33 k × k = A 12 k − A 31 j − A 21 k + A 23 i + A 31 j − A 32 i = ( A 23 − A 32 ) i + ( A 31 − A 13 ) j + ( A 12 − A 21 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle &=\quad A_{11}\,\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\,\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{31}\,\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\&\quad +A_{21}\,\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\,\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\,\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\&\quad +A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\&=\quad A_{12}\mathbf {k} -A_{31}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\&\quad +A_{23}\,\mathbf {i} \,+A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\&=(A_{23}-A_{32})\mathbf {i} +(A_{31}-A_{13})\mathbf {j} +(A_{12}-A_{21})\mathbf {k} .\end{aligned}}} A のこの縮約をレヴィ–チヴィタテンソルで書けば: ⟨ A ⟩ = ϵ i j k A j k . {\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle ={\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}
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