Sylow theoremsとは？わかりやすく解説

数学、特に有限群論におけるシローの定理 (英: Sylow theorems) は、ノルウェーの数学者ルートヴィヒ・シロー (Ludwig Sylow) (1872) にちなんで名づけられた一連の定理。与えられた有限群について、その特定位数の部分群の存在とそれらの個数に関する詳細な情報を与える。有限群論の基本的な定理であり、特に有限単純群の分類において重要な応用を持つ。

与えられた素数 $p$ に対して、群 $G$ のシロー $p$ -部分群（英: Sylow $p$ -subgroup）あるいは $p$ -シロー部分群（英: $p$ -Sylow subgroup）とは、 $G$ の極大 $p$ -部分群、つまり位数が $p$ の冪であるような部分群( $p$ -群）であり、 $G$ の他のどんな $p$ -部分群の真部分群にもなっていないようなものをいう。 $G$ のすべてのシロー $p$ 部分群からなる集合を Syl_$p$( $G$ ) と書くことがある。

シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は、任意の有限群 $G$ に対して $G$ の部分群の位数（元の個数）は $G$ の位数を割り切るというものだが、シローの定理は、有限群 $G$ の位数の任意の素因数 $p$ に対して、 $G$ のシロー $p$ 部分群が常に存在することを主張する。また、 $n$ を有限群 $G$ の位数における $p$ の重複度とすると、 $G$ のシロー $p$ 部分群の位数は $p n$ となり、逆に位数 $p n$ の任意の $G$ の部分群はシロー $p$ 部分群となる。与えられた素数 $p$ に対して、群のシロー $p$ -部分群は互いに共役であり、シロー $p$ -部分群の個数 $n p$ は $r$ を適当な整数 $r ≧ 0$ として $n p = 1 + rp$ と表される。

シローの定理

それぞれなんらかの意味で極大な部分群の集まりというのは群論においてよくある。ここで驚くべき結果は、Syl_$p$( $G$ ) の場合には、すべての元が実は互いに同型で、可能な最大の位数を持っているということである： | $G$ | = $p n m$ , $n$ > 0 で、 $p$ が $m$ を割り切らなければ、任意のシロー $p$ -部分群 $P$ の位数は | $P$ | = $p n$ である。つまり、 $P$ は $p$ -群であり gcd(| $G$ : $P$ |, $p$ ) = 1 である。これらの性質は $G$ の構造をさらに分析するために利用することができる。

以下の定理は最初ルードヴィヒ・シローによって1872年に提出及び証明され、Mathematische Annalen 誌に掲載された^[1]。

シローの定理1 ― 有限群 $G$ の位数の任意の素因数 $p$ （重複度 $n$ ）に対し、位数 $p n$ の $G$ のシロー $p$ 部分群が存在する。

定理1の次の弱いバージョンは最初オーギュスタン゠ルイ・コーシーによって1845年に証明され、コーシーの定理として知られている。

系（コーシーの定理） ― 有限群 $G$ と $G$ の位数を割り切る素数 $p$ が与えられると、 $G$ には位数 $p$ の元（したがって位数 $p$ の部分群）が存在する^[2]。

シローの定理2 ― 有限群 $G$ と素数 $p$ が与えられると、 $G$ のすべてのシロー $p$ -部分群は互いに共役である、つまり、 $H$ と $K$ が $G$ のシロー $p$ -部分群であれば、 $g$ ⁻¹ $Hg$ = $K$ なる $G$ の元 $g$ が存在する。

シローの定理3 ― $p$ を有限群 $G$ の位数の素因数で重複度を $n$ とする。よって $G$ の位数は $p n m$ と書ける、ただし $n$ > 0 であり $p$ は $m$ を割らない。 $n p$ を $G$ のシロー $p$ -部分群の個数とする。すると次が成り立つ：

$n p$ は $G$ のシロー $p$ 部分群の指数である $m$ を割り切る。
$n p$ ≡ 1 (mod $p$ ).
$n p$ = | $G$ : $N G$ ( $P$ )|, ここで $P$ は $G$ の任意のシロー $p$ -部分群であり $N G$ は正規化群を表す。

結果

シローの定理より、素数 $p$ に対して、すべてのシロー $p$ -部分群は同じ位数 $p n$ を持つ。逆に、部分群の位数が $p n$ であれば、それはシロー $p$ -部分群であり、従って他のすべてのシロー $p$ -部分群と同型である。極大性の条件より、 $H$ が $G$ の任意の $p$ -部分群であれば、 $H$ は位数 $p n$ のシロー $p$ -部分群の部分群である。

定理3による非常に重要な結果として、 $n p$ = 1 という条件は、「 $G$ のシロー $p$ -部分群は正規部分群である」という条件と同値であるというものがある。（4次対称群 $S$ ₄ のように、正規部分群は持つが、正規なシロー部分群を持たない群も存在する。)

注

有限群 $G$ のシロー $p$ -部分群を、| $G$ | = $p n m$ （ $p$ は $m$ を割らない）としたとき、位数 $p n$ の部分群と定義することもある。その場合、定理1は

シローの定理1 ― $H$ を $G$ の $p$ -部分群とすると、 $H$ を含む $G$ のシロー $p$ 部分群が存在する。

となる。 $H$ = 1 とすることによりシロー $p$ 部分群の存在も含まれているが、これらを分けてシローの定理を4つとする人もいる。

無限群に対するシローの定理

無限群（英語版）に対して、シローの定理の類似がある。無限群 $G$ のシロー $p$ -部分群を、 $G$ のすべての $p$ -部分群の中で包含関係について極大な $p$ -部分群（すべての元の位数が $p$ 冪）と定義する。ツォルンの補題により、そのような部分群は必ず存在する。

無限群に対するシローの定理 ― $K$ が $G$ のシロー $p$ -部分群であり、 $n p$ = |Cl( $K$ )| が有限であれば、すべてのシロー $p$ -部分群は $K$ と共役であり、 $n p$ ≡ 1 (mod $p$ ) である（ここで Cl( $K$ ) は $K$ の共役類）。

例

二面体群

D

₃(二面体群)ではすべての鏡映は互いに共役であり、それぞれの鏡映はひとつのシロー2-部分群に対応している。

D

₆においては鏡映はシロー2-部分群に対応せず、2種類の共役類に分類される。

シロー部分群とシローの定理の簡単な実例は $n$ 角形の二面体群 $D n$ である。 $n$ が奇数の場合、2=2¹が位数2 $n$ を割る最大の2のベキであるため、位数2の部分群がシロー部分群である。鏡映によって生成される群が $n$ 種類存在し、幾何学的にはそれらは回転について共役である(どの対称軸も頂点と辺を通るため)。それに対して、 $n$ が偶数の場合、群の位数は4で割り切れるため、鏡映によって生成される群はシロー部分群にはならず、2種類の共役類に分解される。幾何学的にはその対称軸が2辺を通るか2頂点を通るかによってどちらの共役類に属するかが決まる。これは外部自己同型と関係しており、 $π$ / $n$ ラジアンの回転(二面体群の最小の回転の半分)によって表現される。