高次元力学系のリアプノフ指数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:10 UTC 版)
「リアプノフ指数」の記事における「高次元力学系のリアプノフ指数」の解説
力学系が k 次元の相空間を持つ高次元力学系の場合、各方向に別々のリアプノフ指数が存在する。すなわち高次元力学系であれば、軌道のずれは、ある方向には離れていくが、別の方向では縮まっていく状況がありえる。よって k 個のリアプノフ指数を得ることができる。このような k 個のリアプノフ指数の組を、リアプノフスペクトラム（英: Lyapunov spectrum）と呼ぶ。 λ i = { λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ k } {\displaystyle \lambda _{i}=\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{k}\}} リアプノフスペクトラムでは一般に λ1 から値が大きい順に並べる。最大値である λ1 を、特に最大リアプノフ指数（英: maximal Lyapunov exponent, maximum Lyapunov exponent）と呼ぶ。記事冒頭で述べたように、相空間上の2つの軌道上の時刻 t における点の間の距離、すなわちずれを δ(t) とする。リアプノフスペクトラム λi は以下のように定義される。 λ i = lim t → ∞ 1 t ln α i ( i = 1 , 2 , ⋯ , k ) {\displaystyle \lambda _{i}=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{i}\quad (i=1,2,\cdots ,k)} 一般に λi は初期値 x(0) に依存する。しかし1次元離散力学系の場合と同様に、ほとんどすべての初期位置 x0 から同一の λi を得ることができる。λi の定義式にある αi は、次式で定義される k × k 正定値行列 Λ の固有値である。 Λ = ( M T M ) 1 2 t {\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}=({\boldsymbol {M}}^{T}{\boldsymbol {M}})^{\frac {1}{2t}}} さらに M は、δ(t) の解を次の形式で表したときの δ(0) に対する乗数として得られる。 δ ( t ) = M δ ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t)={\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\delta }}(0)} 系が連続力学系の場合、 k 個の状態変数 {x1, x2, ..., xk}、常微分方程式 {f1, f2, ..., fk} から成る常微分方程式系 d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\boldsymbol {f}}(t,{\boldsymbol {x}})} が与えられる。f が線形近似可能な場合、f のヤコビ行列を用いて、 d δ ( t ) d t = J δ ( t ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\delta }}(t)}{dt}}={\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {\delta }}(t)} と表すことができる。また、系が離散力学系の場合、 k 個の状態変数、常差分方程式から成る差分方程式系 x(t + 1) = f(x(t))が与えられる。同じく、差分方程式系 f が線形近似可能な場合、f のヤコビ行列を用いて、 δ ( t + 1 ) = J δ ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t+1)={\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {\delta }}(t)} と表すことができる。ここに、J は以下に示すようなヤコビ行列による線形写像で、軌道 x(t) に依存し、すなわち初期値 x(0)、時間 t に依存して変化する。 J = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x k ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f k ∂ x 1 ⋯ ∂ f k ∂ x k ) {\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{k}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{k}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}\end{pmatrix}}} 常微分方程式系の場合は、 d δ d t = J ( t ) δ {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\delta }}}{dt}}={\boldsymbol {J}}(t){\boldsymbol {\delta }}} を解いて δ ( t ) = M δ ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t)={\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\delta }}(0)} を得ることで、上記の定義で出てきた正方行列 M を得ることができる。差分方程式系の場合は、J を t 回繰り返し適用することで次のような δ(t) と δ(0) の関係式で書き表すことできるので、M は Jn の 0 から t − 1 までの総乗として得ることができる。 δ ( t ) = J ( t − 1 ) J ( t − 2 ) ⋯ J ( 0 ) δ ( 0 ) = M δ ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t)={\boldsymbol {J}}(t-1){\boldsymbol {J}}(t-2)\cdots {\boldsymbol {J}}(0){\boldsymbol {\delta }}(0)={\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\delta }}(0)}
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